专题3.10《函数》单元测试卷考试时间：120分钟满分：150注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·辽宁沈阳市·高三其他模拟）设集合，则（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数的单调性求解出不等式的解集为集合，根据对数函数的定义域求解出的定义域为集合，再根据交集的概念求解出的结果.【详解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（）19/19
A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确【详解】对A，为奇函数，值域为，故A错；对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：所以，故C正确；对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；故选：C3．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（）A．B．19/19
C．D．【答案】D【解析】根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解.【详解】由题意，可得，其定义域为，当时，，函数，故排除A、B选项；当时，0，故函数，故排除C选项；当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.故选：D.4．（2021·高三其他模拟）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（）A．3B．1C．0D．﹣1【答案】A【解析】先求出函数的解析式，将代入计算即可.【详解】19/19
因为函数在定义域上单调，且时均有，所以为常数，不妨设，则由得，解得：，所以，所以.故选：A5．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】根据题设的温度冷却模型有，应用对数的运算性质即可求值.【详解】由题意知：分钟，故选：C.6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断，然后判断，由此确定正确选项.【详解】由，，可得，，则有，所以19/19
；，则.故选:C7．（2020·全国高三其他模拟（文））已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（）A．B．0C．1D．2【答案】B【解析】根据是R上的奇函数，且即可得出的周期为2，从而可求出，并且可得出，这样即可得出答案.【详解】解：∵是R上的奇函数，且，∴，∴，∴的周期为2，∴，且，∴.故选：B.8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（理））已知函数，若函数与的图像相交于，两点，且，两点的横坐标分别为，，则的取值范围是（）A．B．C．D．19/19
【答案】D【解析】作出图象，求出，利用对称性把转化为，结合函数的单调性可求范围.【详解】作出函数，的图象如图，不妨设，当经过点时，，联立得，所以；因为与的图象关于直线对称，而与垂直，所以，且.令，且，则易知为增函数，所以，因为，所以.故选：D.19/19
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021·全国高三二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】利用幂指对函数的性质比较大小即可.【详解】∵.∴即，故项正确，选项不正确；∵∴，故选项正确.故选：AC10．（2021·江苏连云港市·高三其他模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数B．为周期函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】ABC【解析】由题设可得，进而可得、，即可判断A、B、D的正误，又可判断C的正误.【详解】由题意知：且，19/19
∴，即，可得，∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：，即为奇函数，C正确.故选：ABC.11．（2021·江苏南京市·高三一模）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（）A．B．C．D．2【答案】AB【解析】对分类讨论，利用数形结合分析得解.【详解】（1）当时，由题得，因为，所以此种情况不存在；（2）当时，由题得，因为，所以.19/19
故选：AB12．（2021·重庆高三其他模拟）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（）A．的周期B．的最大值为4C．D．为偶函数【答案】ABD【解析】由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.【详解】解：函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，对有，函数的图象关于中心对称，，即，又，即，19/19
，，即，，的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；当时，，，当时，，，即，当时，，又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，在上的最大值为4，选项B正确；，选项C错误.故选：ABD.第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））已知函数，则___________.【答案】【解析】利用指数、对数的运算以及分段函数求函数值即可求解.【详解】.故答案为：14．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，若对于任意的，，则_______________.19/19
【答案】0【解析】分和两种情况求解即可得答案【详解】当时，，即恒成立，则有；当时，，即恒成立，则有，所以.故答案为：015．（2021·湖南高三月考）若函数的单调递减区间是，则___________.【答案】0或1【解析】根据方程两根的大小、正负性，结合对数复合型函数单调性的性质进行求解即可.【详解】，当时，显然符合题意；当时，因为，所以的单调递减区间为，由，得或2，均不合题意；当时，因为，所以的单调递减区间为，由，得(舍去)或1.综上，或1.故答案为：0或116．（2021·天津高三二模）设函数，若，则的最小值为___________；若恰有2个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】在上的取值范围，从而确定出的最小值；利用指数函数的图象和性质，考察函数在上的零点个数的不同情况，对应研究19/19
在上的零点个数情况，从而求解出的取值范围.【详解】，当时，；当时，的对称轴为，所以，所以的最小值为；若恰有2个零点，当在上有个零点时，即，即时，此时必须且只需在上有个零点，即，所以，所以此时；当在上没有零点，即或时，此时必须且只需在上有个零点，所以，所以此时.综上，的取值范围是，故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·浙江高一期末）计算求值：（1）19/19
（2）【答案】(1)；(2)【解析】(1)利用指数运算公式进行化简求值；(2)利用对数的加法运算以及对数恒等式进行化简求值.【详解】解：(1)(2)18．（2021·浙江高一期末）最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；19/19
（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据半衰期的定义可得出函数解析式；（2）利用指数与对数式的互化解方程，求得即可得解.【详解】（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；（2）由可得，所以，，.因此，该古生物距今大约年.19．（2021·浙江高一期末）已知函数在上的最大值与最小值之和为．（1）求实数的值；（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；19/19
（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同，所以函数在上是单调函数，所以函数在上的最大值与最小值之和为，所以，解得和（舍）所以实数的值为.（2）由（1）得，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于任意的，恒成立，当时，为单调递增函数，所以，所以，即所以实数的取值范围20．（2021·上海高三二模）设且，，已知函数.（1）当时，求不等式的解；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）或.【解析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可；（2）由题知，进而根据已知条件得19/19
，再结合对勾函数性质即可得或，进而求得答案.【详解】解：（1），不等式可化为若，则，解得，所以不等式的解集为.若，则，解得，所以不等式的解集为.综上所述：，的解集为；，的解集为.（2）.令，即，∵，∴，∴；∴.设，则，∴或，解得或.21．（2021·全国高一课时练习）已知函数.（1）求在上的值域；（2）解不等式；19/19
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；（2）将不等式整理为，可得，由指数函数单调性可解不等式求得结果；（3）令，将问题转化为与在时有交点，由的值域可构造不等式，解不等式求得结果.【详解】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，当时，；当时，；在上的值域为；（2），即，，解得：，，即不等式的解集为；（3）令，当时，，在上有解等价于与在时有交点，由（1）知：在时的值域为，，解得：，即的取值范围为.22．（2021·浙江高一期末）已知函数．19/19
（1）当时，求函数的单调增区间（写出结论即可）；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围．（3）当，求函数在上的最小值．【答案】（1）函数的单调递增区间为、；（2）；（3）.【解析】（1）将函数解析式表示为分段函数的形式，即可写出函数的单调递增区间；（2）由已知可得不等式对任意的恒成立，由基本不等式可求得的最小值，由此可求得实数的取值范围；（3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可求得关于的表达式.【详解】（1）当时，.所以，函数的单调递增区间为、；（2）当时，由可得，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，.因此，实数的取值范围是；（3）①当且时，，19/19
因为，故函数在区间上单调递增，故；②当时，，因为，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故；③当时，由（1）可知，，在上单调递减，此时；④当且时，且，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，，故.综上所述，.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.19/19
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