2022年新高考数学一轮复习6.3平面向量的应用（讲）解析版

专题6.3平面向量的应用新课程考试要求1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.考向预测（1）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．（2）正弦定理或余弦定理独立命题；（3）正弦定理与余弦定理综合命题；（4）与三角函数的变换结合命题；（5）考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查.【知识清单】知识点1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：　a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)　．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式　cosθ＝　．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．知识点2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量27/27 速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．知识点3．正弦定理正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB知识点4．余弦定理余弦定理：，，.变形公式cosA＝，cosB＝，osC＝【考点分类剖析】考点一：平面向量在平面几何中的应用【典例1】（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】由推出，由推出，则可得答案.【详解】由，得，得，得，所以，因为，所以，27/27 所以，所以，即，所以为等腰直角三角形.故选：C【典例2】（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知､为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点､，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，根据和，得到动点在直线上，且，进而得到扫过的三角形的面积，再由，同理得到扫过的三角形的面积，两者求和即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：则，，设，27/27 ∴，；由，得；又，∴，；∴；∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,则扫过的三角形的面积为，设点∵，∴，∴，，∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,∴扫过的三角形的面积为，∴因此和为60，故选：B.【典例3】（2021·济南市·高一期中）设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．【答案】3【解析】由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案【详解】27/27 解：因为，所以，令，则，所以，所以为上靠近的三等分点，因为，所以∥,所以，所以，故答案为：3【总结提升】1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点．4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ．5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量与向量的夹角即可．6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．【变式探究】1．（2021·河北高一期中）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.【详解】27/27 如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，即，，，则，.设，则，，，所以.设，，解得，，则，所以长度的最小值为.故选：B2.（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）【答案】等腰三角形【解析】取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．【详解】取中点，连接，27/27 则，又，，，，；；的形状是等腰三角形．故答案为：等腰三角形.考点二：用向量方法探究存在性问题【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．【解析】[思路分析]　本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量的坐标设出，从而得到的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则＝(3，－4)．∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，∴＝＝(1，－)，∴M(4，)，∴＝(4，)．27/27 假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设＝λ，且0