专题7.5数列的综合应用新课程考试要求1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式2.数列与函数、不等式相结合.3.复习中注意:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；（3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】知识点一．等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
么数列(，且)为等差数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.知识点二．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.
【考点分类剖析】考点一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（2021·全国高三月考（文））已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.（1）求数列，的通项公式；（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.【详解】（1）数列是等差数列，设公差为，且，.则，解得，所以.又因为，，是等比数列的前3项，则，由于，代入上式解得.于是，，，因此等比数列的公比.故数列的通项公式为.（2）设数列的前20项的和为.因为，，则
.【典例2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，用首项和公差表示已知条件，化简后解方程组求得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）可得通项公式，采用分组求和的方法，对的两个部分分别采用等比数列求和、等差数列的求和公式求和，进而得到.【详解】（1）设等差数列公差为，①，，，成等比数列得：,整理得：,∵，∴②,由①②解得：，，（2）由（1）得：,由于为常数,∴数列为公比为的等比数列，.【总结提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【变式探究】1.（浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设公比为.由，，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.2.（2017·全国高考真题（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，且a1=1，b1=1，a2+b2=4.（1）若a3+b3=7，求bn的通项公式；（2）若T3=13，求S5.【答案】（1）bn=2n-1；（2）5或75.【解析】设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q(q≠0)有(1+d)+q=4，即d+q=3.（1）∵(1+2d)+q2=7，结合d+q=3得q=2，∴bn=2n-1.（2）∵T3=1+q+q2=13，解得q=-4或3，当q=-4时，d=7，此时S5=5+5×42×7=75；当q=3时，d=0，此时S5=5a1=5.
【易错提醒】1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．2.应用错位相减法求和时需注意：（1）给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.考点二数列与函数的综合【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考察函数，由可得在单调递增，由可得在单调递减且，可得，数列为单调递增数列，如图所示：且，，
图象可得，所以，故选B.【典例4】（2020·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，．（1）求数列的通项公式．（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记求的值，并指出相应的取值范围．【答案】（1），；（2）当时，；当时，．【解析】（1）由等比数列的通项公式得，即可得，然后利用累加法求即可；（2）由（1）得，可求出，，得到和时的值，然后对进行放缩，可得当时，，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求解即可．【详解】
（1）由题意得，则，当时，，，又由，符合上式，因此，．（2）由（1）知，当时，．易知时，，此时；时，，此时；当时，，因为时，，所以，因此，令，则，，利用对勾函数的单调性，得（其中），从而．综上，当时，；当时，．
【总结提升】数列与函数的综合问题主要有以下两类：①知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【变式探究】1.（2021·高三三模）已知函数，其中，定义数列如下：，，（1）当时，求的值；（2）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得.【答案】（1）1，2，5；（2）存在，使得，，构成公差不为0的等差数列；（3）见试题解析.【解析】（1）利用函数的解析式，通过＝2，3，4，求出结果；（2）解法一：假设存在实数m，使得，，构成公差不为0的等差数列．求出，，，利用，，成等差数列，求出即可．方法二：通过，求出，使得，，构成公差不为0的等差数列．（3）通过，利用，，，，累加推出，通过成立，转化，得到结论．【详解】（1）因为，故，因为，所以，
，．（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为0的等差数列．则得到，，．因为成等差数列，所以，所以，，化简得，解得（舍）,．经检验，此时的公差不为0，所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．方法二：因为，，成等差数列，所以，即，所以，即．因为公差，故，所以解得．经检验，此时，，的公差不为0．所以存在，使得，，构成公差不为0的等差数列．（3）因为,又,所以令由，，，，将上述不等式全部相加得，即，因此要使成立，只需，所以，只要取正整数，就有．综上，当时，总能找到，使得．
2.（四川高考真题）设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=-2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-1ln2，求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）Sn=n(n-3)；（2）Tn=2n+1-n-22n.【解析】bn=2an.（1）b7=2a7=2-2+6d,∴4×2-2+6d=2-2+7d,d=2，所以Sn=-2n+n(n-1)=n(n-3).（2）将f(x)=2x求导得f'(x)=2xln2，所以f(x)=2x在(a2,b2)处的切线为y-b2=2a2ln2(x-a2)，令y=0得-b2=(2a2ln2)×(x-a2),x=a2-1ln2,∴a2=2，所以d=2-1=1,∴an=n，bn=2n.所以anbn=n2n，其前n项和Tn=121+222+323+⋯+n-12n-1+n2n①两边乘以2得：2Tn=11+221+322+⋯+n2n-1②②－①得：2Tn-Tn=11+121+122+⋯+12n-1-n2n=2-12n-1-n2n，所以Tn=2n+1-n-22n.考点三数列与不等式的综合【典例5】（2021·宁波中学高三其他模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，，求证：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）首先根据对所有n都成立，分别取得到关于的等量关系式，解方程求解，最后写出数列的通项公式即可；（2）化简，根据裂项相消求得，最后证明即可.【详解】（1）假设等差数列的公差为和等比数列的公比为，
因为，取得，又，所以，取得，所以即，取得，所以即，联立解得：，所以，；经检验，，使得对任意的正整数都成立，所以，.（2），,,所以，即数列单调递增，所以对于任意正整数恒成立，所以对于任意正整数恒成立，所以，所以，所以得证.【典例6】（2020届浙江省台州五校高三上学期联考）已知函数f(x)=44x+15.（Ⅰ）求方程f(x)-x=0的实数解；（Ⅱ）如果数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)（n∈N*），是否存在实数c，使得a2n
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