专题7.5数列的综合应用练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.【详解】设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：A.,故A不正确；B.，故B正确；C.，故C不正确；D.，故D不正确.故选：B2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）
A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，由等差数列前n项和公式得：，∴，∵,∴n为264的因数，且为偶数，把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.故选：D3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（）(参考数据：)A．B．C．2020年小王的年利润为40000元D．两年后，小王手中现款达41万【答案】BCD【解析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.
【详解】对于A选项，元，故A错误对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；对于C选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，所以，即所以2020年小王的年利润为元，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选：BCD.4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．【详解】解：设等差数列的公差为，则，由已知，即，得，
于是，在等比数列中，公比．由为数列的第项，知；由为数列的第项，知，，故.故答案为．5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且（1）若成等比数列，求的值；（2）当时，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先由条件，列式表示为，，，再根据数列是等比数列求的值；（2）由条件，归纳可知，再求数列的前项的和.【详解】解：（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比数列，所以，则，又，故.（2）时，，∴，，…，，
.6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）计算得到，得到答案.（2），得到数列通项公式.（3）根据分组求和法计算得到答案.【详解】（1）由，得，∴，又，∴是首项为3，公比为3的等比数列.（2），∴.（3）.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为且求的取值范围.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由条件求得公差，写出通项公式；
（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.【详解】（1）由等差数列性质知，，则，故公差，故（2）由（1）知，易知单调递增，且，，故，解得，.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列中，.等差数列的前两项依次为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)×2n+2+36.【解析】（1）根据递推公式计算，，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到，故是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】解（1）∵a1=b1=1，∴，则数列{cn}的公差d=6-(-2)=8.
∴数列{cn}的通项公式为cn=-2+8(n-1)=8n-10.（2）an+1=3an-bn-3n-1，①bn+1=3bn-an+3n+1，②①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).∵a1+b1=2，∴数列{an+bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an+bn=2n.∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，则2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.9．（2021·重庆高三三模）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式：（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）求得数列的通项公式，进而利用裂项求和法求得，结合数列的单调性证得.【详解】（1）解：，令，解得时，两式相减，得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）证明
单调递增，所以1即10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列中，，且成等比数列．（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列满足，其前项和为，证明：．【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．【解析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．【详解】证明：（1）由，得，即，所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，因此，，，由成等比数列，得，即，解得或（舍去），故．（2）因为，所以因为，所以．
练提升TIDHNEG1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，对任意的正整数n，都有，则a的最小值为__________．【答案】2．【解析】根据图形之间的关系可得的递推关系，从而可求的通项公式，故可求a的最小值.【详解】设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，则当时，，设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，则当时，，故，其中，由累加法可得，
时，也符合该式，故，故对任意的恒成立，故即a的最小值为2.故答案为：2.2．（2020·沙坪坝区·重庆高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知条件求出公差d，再利用求通项公式即可；（2）先计算通项公式，利用裂项相消法求，代入化简数列不等式为对任意恒成立，再求最小值即得结果.【详解】解：（1）设数列的公差为，因为是等差数列，所以，故，又，，成等比数列，所以，故，将代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，
故，即对任意恒成立，而在上单调递增，故在时单调递增，，所以，故的取值范围为.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】根据等差､等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.【详解】记，从而有().选择①，数列是公比为的等比数列，因为，所以，即.所以，所以.
由，当时，，当时，，所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得对任意的，都有.选择②，方法一：是公差为1的等差数列，因为，所以，当时，，则，当时，上式成立，所以.所以，从而.由，所以当时，；当时，，所以当时，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得对任意的，都有.方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.，由()，得，解得.
选择③，方法一：，则，从而，即.又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.所以，从而，即，所以数列为单调递增数列，故不存在，使得对任意的，都有.方法二：利用求解.，，则，因为，所以不存在，使得对任意的，都有.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{an}的前n项和为Sn，，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求数列和的通项公式；（2）若，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1．【答案】（1）；；（2）证明见解析．【解析】
（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为2的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可，再根据b1＝a1，b6＝a5求得的公差，再写出的通项公式.（2）根据裂项相消求和，最后证明不等式即可.【详解】解：（1）由，可得n＝1时，，解得，n≥2时，，又，两式相减可得，即有，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以；设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得，所以；（2）证明：所以则3Tn＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①；②；③成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若（），求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若选①，由，有，两式相减，可得数列为等比数列，再由首项可求通项；若选②，由，得，再由首项可求通项；若选③，由成等比数列，得，再由首项可求通项.（2）先带入化简，再裂项求和即可.【详解】（1）若选①，由，有，两式相减并整理有，可知数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；若选②，因为数列是等比数列，且首项为2，由，有，即，得，所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以；若选③，由成等比数列，有，即，因为有，所以有，解得，（舍），数列是首项为2，公比也为2的等比数列，所以.（2）因为，，所以.
6．（2021·高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．【答案】（1）证明见解析；；（2）；．【解析】（1）根据题中条件，推出，即可证明数列为等比数列，从而可求出其通项公式；（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出；设，先由题中得到的通项，再由分组求和法计算，根据求，进而可得.【详解】（1）因为，，，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此；（2）由（1）可得①，则②，
①②得，则；设，则，所以；；因此.7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{an}中，公比，其前n项和为Sn，且S2=6，___________.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，且数列{cn}满足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求数列{cn}的通项公式.从①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）选条件①时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式;选条件②时，利用等比数列的定义和性质的应用求出数列的通项公式；选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式.（2）由（1），得,则，利用累加法结合裂项相消法，可求出数列{cn}的通项公式.【详解】解：(1)若选条件①时，由S2=6及S4=30，
得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，两式相减，得a3+a4=24，即q2(a1+a2)=24，所以q2=4，由，解得，代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.若选条件②时，S6﹣S4=96.因为S6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以，a1+a1q=6，两式相除，得q4=16，结合q>0，得q=2，所以a1+2a1=6，解得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.若选条件③时，a3是S3与2的等差中项.由a3是S3与2的等差中项，得2a3=S3+2，则2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，由通项公式，得a1+a1q=6，，消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，结合q>0，解得q=2，代入a1+a1q=6，得a1=2，所以数列{an}的通项公式为.（2）由（1），得，，所以当时，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)++(cn﹣cn﹣1).又c1=1也适合上式，故数列{cn}的通项公式是.
8．（2021·全国高三其他模拟）从①，②，③中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列的公比，且____．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】（1）根据可得关于的方程，两个方程解出两个未知数；（2）若选①②，结合表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，，可用分组求和法解题.【详解】（1）设的公比为，因为，故，即，解得或舍去，所以（2）设的前项和为，若选①，，两式相减得
所以若选②，两式相减得，所以．若选③当为偶数时，当为奇数时，，所以9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列），记数列{}的前n项和为，{}的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且（1）求数列{}的通项公式；（2）记为数列{}的前n项和，求（n≥2，且n∈）的最小值．【答案】（1）+；（2）【解析】（1）根据已知条件以及等差数列等比数列的通项公式可求出，进而可以求得数列{}的通项公式；（2）求得，进行变形，然后令=1，接下来与作差，然后构造函数，分类讨论即可求出最值.
【详解】（1）由题意得.....①；......②将代入②式中，解得=4，=3.故将①式可变为：，解得d=q=2-故=2，=1，所以故+（2）由（1）可求得=2-故1，记=1则--∵n≥2，且n∈，故在n=2时为负数，当n≥3时为正数进行分类讨论：①当n=2时，=5②当n≥3时，记f(x)=化简得f(x)=，故在4>n≥3时，-＜0，,n=4,=,n≥5时，-＞0则对于n≥3时，n=4或3时有最小值-故＜故的最小值为.10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数
的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用化简可得为等比数列，由此可求得通项公式；（2）由题可得恒成立，n为偶数时，，n为奇数时，.【详解】（1）解：因为，所以，当，时，所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为2，所以，则；（2）解：因为，所以，由（1），所以恒成立，当n为偶数时，恒成立，所以，设，由于，所以，当时，，所以，当n为奇数时，，若n=1，则有，
若，则有，令，由于，所以，综上，.练真题TIDHNEG1.（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.3.（2019年浙江卷）设，数列中，，,则（）A.当B.当C.当D.当【答案】A【解析】
选项B：不动点满足时，如图，若，排除如图，若为不动点则选项C：不动点满足，不动点为，令，则，排除选项D：不动点满足，不动点为，令，则，排除.选项A：证明：当时，，处理一：可依次迭代到；处理二：当时，，则则，则.故选A4．（2020·江苏省高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：5.（2019年浙江卷）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】(1)由题意可得：，解得：，则数列的通项公式为.其前n项和.则成等比数列，即：
，据此有：，故.(2)结合(1)中的通项公式可得：，则.6.（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，
所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.
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