2022年高考数学一轮复习讲练测2.4 二次函数与幂函数（新高考浙江）（练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第二章函数专题2.4二次函数与幂函数（练）【夯实基础】1．（2020·全国高考真题（文））已知集合则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.【详解】由解得，所以，又因为，所以，故选：D.2．（2021·浙江高二期末）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（）A．或3B．3C．D．0【答案】B【解析】由题意可得，从而可求出实数的值【详解】解：因为幂函数在上是减函数，所以，24/24 由，得或，当时，，所以舍去，当时，，所以，故选：B3．（2021·浙江高一期末）幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图像如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由幂函数，指数函数，对数函数的图象特征结合条件可得出答案.【详解】由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，曲线②为指数函数，为减函数，则曲线③为幂函数，在上为减函数，则所以故选：A24/24 4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由指数函数性质求得定点坐标，由定点求得幂函数解析式，确定图象．【详解】由得，，即定点为，24/24 设，则，，所以，图象为B．故选：B．5．（2021·全国高一课时练习）二次函数的最大值是，则_______.【答案】【解析】根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.【详解】根据题意，二次函数的最大值是，则，解得.故答案为：.6．（2020·浙江高一期末）函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．【答案】【解析】由题知，解得或，再结合函数为奇函数即可得.【详解】解：因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，，是奇函数，满足条件；当时，，是偶函数，不满足条件；故.故答案为：7．（2021·浙江高一开学考试）已知幂函数f(x)=xα满足f(3)=，则该幂函数的定义域为___________.【答案】24/24 【解析】由f(3)=求出函数解析式，再由解析式求出函数的定义域即可【详解】解：因为f(3)=，所以，即，解得，所以，所以函数的定义域为，故答案为：8．（2021·浙江高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则_______.【答案】【解析】根据幂函数的定义确定的值，再由函数图象经过点，代入可得，进而可得所求.【详解】由函数为幂函数，可知，故，由函数图象经过点，所以，即，故，故答案为：.9．（2020·江苏省包场高级中学高一月考）函数的单调减区间为_________________【答案】和【解析】根据绝对值的意义原函数转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解.【详解】24/24 因为，所以当时，二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减，当时，二次函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减.故答案为：和10．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数f（x）＝x2＋bx＋c满足f（2）＝f(－1)，试比较f(－2)，f（0），f（2）的大小．【答案】f（0）f（2）f(－2)【解析】利用二次函数的性质可比较f(－2)，f（0），f（2）的大小关系．【详解】由f（2）＝f(－1)得该二次函数的对称轴是x＝，则f(－2)＝f（3），又开口向上，由图象易知f（0）f（2）f（3），即f（0）f（2）f(－2)．【提升能力】1．（2021·浙江丽水市·高三期末）在同一个直角坐标系下，函数，，且）图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B24/24 【解析】根据指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【详解】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质，可得：当时，函数为定义域上的单调的递减函数，函数为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD项不符合，B项符合；当时，函数为定义域上的单调的递增函数，函数为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD项都不符合.故选：B.2．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】解：由单调递减可知：.由单调递增可知：，所以，即，且.，所以.故选：C.3．（2021·浙江高一期末）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系.【详解】24/24 因为在上为增函数，故即，而在上为减函数，故，故，因为在上为减函数，故，故，故.故选：A.4.（2021·全国高一课时练习）已知函数，则的增区间为（）A．（–∞，–1）B．（–3，–1）C．[–1，+∞）D．[–1，1）【答案】B【解析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由，得，当时，函数单调递增，所以函数单调递增；当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，故选：B.5．（2021·全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据对数函数的性质，转化为的值域能取到内的任意实数，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】24/24 由题意，函数的值域为，根据对数函数的性质，可得转化为的值域能取到内的任意实数，当，则，函数的值域为，满足题意；当，要使得的值域能取到内的任意实数，则满足，解得，综上可得，实数的范围为.故选：C.6．（2021·广东高三专题练习）若函数且的值域为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二次函数、对数函数的性质，结合分段函数的值域有，即可求的范围.【详解】当时，，，当时，，∵函数的值域为，∴，又，∴，即，∴的取值范围为.故选：D．24/24 7．（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A．a0C．b0【答案】C【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C8．（2021·黑龙江哈尔滨市·高二月考（文））已知，若对任意的，总有，则的范围是______．【答案】【解析】把函数f(x)视为关于参数a的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g(a)=x2·a-3x+1，则g(a)是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x轴下方，只需端点不在x轴下方即可，，解得：或，解得：，24/24 所以有.答案为：9.（2021·浙江高一期末）设函数．（1）若，求的值；（2）若，设，求在上的最小值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由可得，两边平方后进行配方可求出的值.(2)由可求出，从而可得的解析式，由在上单调递增，可设，通过讨论对称轴和区间的三种位置关系，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值.【详解】(1)解:因为，所以，则，即，即，因为，因为，所以，即.(2)因为，整理得，解得或(舍去)，所以，24/24 在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，当时，，当时，，令，则，对称轴为，抛物线开口向上，当时，在上单调递增，此时当时，；当时，在上单调递减，此时当时，；当时，在先减后增，此时当时，；综上所述，在上的最小值10．（2021·浙江高一期末）设函数，．（1）求的最大值和最小值，并求出取得最值时对应的值；（2）解不等式．【答案】（1）当时，，当时，；（2）【解析】（1）令，可得，从而，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的值；（2）由（1）知，，，则不等式可化为，可求出的范围，结合，可求出的范围.【详解】24/24 （1）由题意，，令，，则，根据二次函数的性质，可得当，即时，取得最小值，；当时，即时，取得最大值，.（2）由（1）知，，，则可化为，解得或，因为，所以，即，则，即，故不等式的解集为.【拓展思维】1．（2021·浙江高一期末）已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】24/24 根据函数的单调性可知，，即可得到，即可知是方程的两个不同非负实根，所以，解得．故选：D．2．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（）A．当时，存在满足题意B．当时，不存在满足题意C．当时，存在满足题意D．当时，不存在满足题意【答案】D【解析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为关于的不等式在上恒成立，所以必需要满足、，即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同，即当时，；当时，，A项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；B项：，，令，，，24/24 此时，存在满足题意，B错误；C项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；D项：，，令，，，此时，不满足当时且当时，，即不存在满足题意，D正确，故选：D.3．（2021·浙江高三月考）已知实数满足，则的最大值为___________.【答案】5【解析】利用基本不等式求得的取值范围，注意，分类和讨论可得，然后由二次函数知识得的最大值．【详解】，当时，，当时，，，所以，时，，时，，，所以时，．故答案为：5．关键点点睛：本题考查求函数的最大值问题，解题关键是用基本不等式确定的范围时，，需要分类讨论才能得出的范围，否则易出错：，得，当然这样做无法求得最大值．4.（2019·北京高三高考模拟（理））已知函数当时，的最小值等于____；若对于定义域内的任意，恒成立，则实数的取值范围是____．24/24 【答案】【解析】当时，，－3≤x≤0时，f(x)＝（x＋1）2－2，得：当x＝－1时，f（x）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x－1）2＋1，得：当x＝3时，f（x）有最小值为－3，所以，当时，的最小值等于－3，定义域内的任意恒成立，①－3≤x≤0时，有，即：恒成立，令＝，在－3≤x≤0时，g（x）有最小值：g（0）＝g（－3）＝1，所以，，②0＜x≤3时，有，即：恒成立，令，在0＜x≤3时，g（x）有最大值：g（）＝，所以，，实数的取值范围是5.（2020·山西省高三其他（理））已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：24/24 利用赋值法证明函数是偶函数，再证明函数在上是减函数，最后构造函数，利用在上是减函数，解不等式，即可得到答案；详解：中，取得，取得，取，，得，所以是偶函数，设，则，，所以，所以在上是减函数，设，则在上是减函数，所以且，所以m的取值范围是．故答案为：.6.（2021·浙江高二期末）已知函数．（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减,在上单调递增；（2）.24/24 【解析】（1）分段结合二次函数讨论函数的单调性即可；（2）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.【详解】（1）当时，函数的对称轴是，开口向上，故在上单调递减,在上单调递增.当时，函数在上单调递增.综上：在上单调递减,在上单调递增.（2）当时,令,可得，，因为，所以，（舍去）所以,在上是减函数,所以.7．（2018·浙江全国·高三课时练习）已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．24/24 【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝.令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.8．（2019·湖北武汉市·武钢三中高一期中）已知函数，.（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；（2）若对任意，存在，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）转化为当，，再构造函数求出最小值可求得结果；（2）求出和在上的最大值，再将“对任意，存在，都有成立”转化为可求得结果.【详解】24/24 （1）因为等价于，即，所以存在，使成立，令，，则，因为在上为增函数，所以，所以.（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，若对任意，存在，都有成立，则，所以，得.9．（2021·湖南长沙市·高一月考）已知函数，.（1）若关于的方程有两个不等根，()，求的值；（2）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1，（2）存在，的取值范围为，的范围为【解析】（1）由题意可得，可得，从而可求得结果；（2）令，则，令，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以对的范围分情况讨论，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，且有两个不等根，24/24 只有一个根，则必有，则有，从而可求出的取值范围，此时，，则其根，故必有【详解】解：（1），因为关于的方程有两个不等根，()，所以，所以，所以（2）在上单调递减，则，得，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，且，令，则当时，方程有两个不等实根，由（1）可知，两根之积为1；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或为1，令，所以原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，则必有，则有，解得，此时，，则其根，故必有，所以存在实数，使得对任意，关于的方程在区间24/24 上总有3个不等根，，，实数的取值范围为，的范围为10．（2021·浙江高二期末）已知二次函数（1）若在的最大值为，求的值；（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数；（1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果.【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，（1）当，即时，在上单调递减，，不合题意；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，又，，在的最大值为，，解得：；综上所述：.（2）若对任意实数，总存在，使得，则对恒成立，24/24 ①当时，在上单调递增，，当时，单调递增，，；②当，即时，在上单调递减，，当时，单调递减，，；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当时，又，，令，则在上单调递增，，解得：；④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当时，在上单调递减，24/24 ，解得：；综上所述：的取值范围为.24/24