备战2022年新高考数学45天核心考点专题10 利用导数研究函数的单调性（解析版）

学科网（北京）股份有限公司备战2022年高考数学核心考点专题训练专题10利用导数研究函数的单调性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知函数ሺݔݔ1ሺݔtሺሺݔ1tሺ有都，t1且htሺt，1意任对，ttݔ䁕t，则实数a的取值范围是ሺݔA.ሺhB.ሺhC.thD.thtttt【答案】A【解析】解：因为对任意1䁕t，t䁕t，都有t1t1䁕t，所以函数在t单调递减．又因为ሺݔtttt，所以tt，因此ttt对t恒成立，t即对t恒成立．ttth1令，则，t1因此当时，䁕t，函数是减函数；t1当t时，t，函数是增函数，t11所以当时，函数有最小值t，tt因此t，即．t故选A．t.ሺݔሺhݔሺ足满且，数函导可负非的上ݔhtሺ在义定是ݔ䁕t，对任意正数a，b，若䁕䁪，则必有ሺݔA.ሺ䁪ݔ䁪ሺ䁪䁕ݔሺ.Dݔሺ䁕ݔ䁪ሺ䁪.Cݔ䁪ሺ䁕ݔሺ䁪.Bݔሺ䁪䁕ݔ【答案】C【解析】解：设ሺݔሺݔ，t，则ሺݔሺhݔሺhݔሺݔ䁕t，函数ሺݔ在ሺthݔ上是减函数，䁕䁪，ሺݔ䁪ሺݔ学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即bfሺ䁪ݔሺ䁕ݔ故选C．3.已知函数ሺݔሺ是围范值取的a数实则，点零的同不个三有ݔሺteݔttA.ሺhݔhሺ.Dݔhሺ.Cݔhሺ.Bݔtt【答案】C【解析】解：令ሺݔtt，当t时显然不成立，故，t令ሺݔሺ与线直为化转题问则，ݔ的图象有三个交点，ttሺtݔሺݔ，3令ሺݔt，解得t，当䁕t或t时，ሺݔhtሺ，ݔtሺ在ݔሺ，tݔ上单调递增，当t䁕䁕t时，ሺݔttሺ在ݔሺ，t䁕ݔ上单调递减，tሺݔ在t处取极小值，ሺtݔ，作出ሺݔ的图象如下：t要使直线与曲线ሺݔ有三个交点，，则，t故实数a的取值范围是．故选C．.已知定义域为R的奇函数ሺݔሺݔሺ，时t当，ݔሺ为数函导的ݔ䁕t，若ሺݔ3ሺݔtnlሺݔ䁪，则䁪的大小关系正确的是ሺݔlnt3A.䁕䁪䁕B.䁪䁕䁕C.䁕䁕䁪D.䁕䁕䁪【答案】D 学科网（北京）股份有限公司ሺݔ【解析】解：构造函数ሺݔ，ሺݔሺݔሺݔ，t当t时，ሺݔሺݔ䁕t，ሺݔ䁕t，函数ሺݔ在ሺthݔ单调递减．又函数ሺݔ为奇函数，ሺݔሺݔ是偶函数，ሺ3ݔሺ3ݔሺ3ݔ，3ሺݔt䁥ሺݔሺݔt䁥ሺ䁪，ݔ，䁥t䁕1䁕䁕3，䁥tሺ3ݔt䁥ሺ䁕ݔሺ䁕ݔ，䁕䁕䁪，故选D．5.函数ሺݔሺ为集解的tݔሺݔtሺ式等不则，示所图如象图的ݔA.ሺthݔ1ሺ.BݔC.ሺ1ݔhtሺݔ11ሺ.Dݔt1ሺݔ【答案】D【解析】解：由图知，ሺݔ11ሺ为间区减递调单，ݔh1ሺ，ݔ1ሺ为间区增递调单的ݔ，所以在区间ሺ1ݔሺ，上ݔ11ሺ在，tݔሺ，上ݔh1ሺ及ݔ䁕t，又ሺtݔሺݔt，ttt䁕t所以或ሺݔሺtݔ䁕t得t或1䁕䁕1，即不等式ሺtݔhtሺݔ11ሺ为集解的tݔሺݔ．故选D．t6.已知函数ሺݔሺ是围范值取的k数实则，立成总时ݔht在ݔሺ若，1ݔtA.ሺ1hB.ሺhC.ሺthD.ሺth学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】解：当t时，ሺݔ显然恒成立；1t1t当t时，ሺݔtሺ1ݔሺ设，t1为即ݔ，tt则ሺݔሺݔሺ令，ݔ，ሺݔ1t，函数ሺݔ在ሺthݔ上为增函数，当1时，ሺݔhtሺ在ݔሺ数函故，t1ݔtሺݔ上为增函数，ሺݔሺ即，tݔtሺݔ成立；当1时，ሺtݔtሺ得使，ݔtሺt在存故，ttݔሺ，t䁕1ݔt，当ሺttݔሺ即，tݔtሺ䁕ݔሺ则，减递调单ݔሺ，t䁕ݔሺ，时ݔ䁕，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为ሺ1h．故选：A．1tt7.设点P为函数ሺݔtሺ䁪h䁥3ݔሺ与htݔ的图像的公共点，以P为切点可作直线t与两曲线都相切，则实数b的最大值为ሺݔtt3tt333A.3B.3C.tD.t3t3t【答案】B1tt【解析】解：设ሺttݔ，由于点P为两曲线的公切点，则tthtt3lnth䁪．3t又在点P处的切线斜率相同，则ሺtݔtሺݔ3htሺ即，htt即，ݔtሺݔt．t5tt又t，tt，所以t，于是䁪3ln，其中t．t5tt设3ln，其中t，则ሺݔ䁥31ሺtݔ，其中t，t11所以ሺݔ在t3内单调递增，在3h内单调递减，13t所以实数b的最大值为33．t故选B．13tt.已知函数ሺݔሺݔሺ数函则，ݔ1ሺ，数函偶为ݔሺ数函导其，hthhݔ33在区间tth上的最小值为ሺݔA.3B.tC.eD.2e【答案】B 学科网（北京）股份有限公司【解析】ሺݔthth，要使导函数ሺݔ为偶函数，则t，13故ሺݔhht，31t则ሺ1ݔhht，解得3，33所以ሺݔt3，故ሺݔ3hሺݔ1ሺݔth3tሺݔሺ，ݔ3tሺݔ，当t1ݔሺ，时ht1ሺ当，t䁕ݔሺ，时ݔt．所以函数ሺݔ在区间t1ݔ上单调递减，在区间ሺ1th上单调递增，所以函数ሺݔ在区间tth上的最小值为ሺ1ݔሺ13ݔt．故选B．9.已知函数ሺݔሺ是围范的m则，点零个两有上ݔhtሺ在ݔ数底的数对然自为ሺhݔtA.ሺtݔhtሺ.Dݔhሺ.Cݔttሺ.Bݔ【答案】D1【解析】解：由ሺݔሺ得thݔ，ttt11当时，方程不成立，即，tt则1，t1设ሺݔ且tሺ，1ݔ，ttሺݔ1htሺݔ1ሺ1ݔ11tሺݔ1ሺݔtttt则ሺݔ1t1t1t，ሺݔሺݔሺݔttt1t且，由ሺݔt得1，t当1时，ሺݔt，函数为增函数，1当t䁕䁕1且时，ሺݔ䁕t，函数为减函数，t则当1时函数取得极小值，极小值为ሺ1ݔt，1当t䁕䁕时，ሺݔሺ数函出作，减递调单且，t䁕ݔ的图象如图：t要使1有两个不同的根，t则t即可，即实数m的取值范围是ሺthݔ，1方法2：由ሺݔሺ得thݔ，ttt学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 1设ሺݔሺݔሺ，ݔ，tሺݔሺ则，tݔሺ，时t当，ݔ1hሺhݔ为增函数，1设ሺݔ1hሺ率斜线切，ݔሺ为点切的时切相ݔሺ与ݔሺݔ，t则切线方程为ሺh1ݔሺݔ，11当切线过ሺtݔሺݔ1hሺ，时ݔ，tt11tt1即h，即t1t，得1或ሺ舍ݔ，则切线斜率ሺ1h1ݔt，ttt要使ሺݔ与ሺݔ在ሺthݔ上有两个不同的交点，则t，即实数m的取值范围是ሺthݔ故选：D．1t.已知ሺݔሺݔሺ且，ݔሺݔሺݔሺݔሺ，tݔሺ，数函的上R在义定是都ݔሺݔሺሺ1ݔሺt1ݔ1ሺݔt且1ݔሺ为值小最的n则，363于大和项n前的列数若，hݔሺ1ݔሺ3ݔ1ሺݔA.4B.5C.6D.7【答案】Cሺݔ【解析】解：ሺݔ1且tሺݔሺݔ，，ሺݔ又ሺݔሺݔሺݔሺݔ，ሺݔሺݔሺݔሺݔሺݔሺݔt，ሺݔሺtݔሺݔ是增函数，ሺݔ1，ሺ1ݔሺ1ݔ1th．ሺ1ݔሺ1ݔ311t1h，解得或3，33综上得3．ሺݔ数列是等比数列，3．ሺݔሺݔ数列的前n项和大于363，ሺݔt33ሺ13ݔ1h13h3h3hh3ሺ33ݔ363，13t即3h17t9，h16，解得5． 学科网（北京）股份有限公司的最小值为6．故选C．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设定义域为R的函数满足，则不等式1䁕t1的解集为__________．【答案】ሺ1hݔሺݔሺݔሺݔ【解析】解：设ሺݔሺ则，ݔ，ሺݔሺ数函即，tݔሺ，ݔሺݔ在定义域R上单调递增，1ሺݔ1tሺ䁕ݔ，ሺݔ1tሺݔ䁕，即ሺݔ1tሺ䁕ݔ，t1䁕t1，即1，不等式1ሺݔh1ሺ为集解的ݔ1tሺ䁕ݔ，故答案为ሺ1hݔ．31t.若函数ሺݔh1在ݔtሺtݔ上的最大值为，则a的值为________．h3【答案】31thttt【解析】解：ሺݔ，ሺthݔtሺthݔt当时，ሺݔሺ，t䁕ݔ单调递减，当䁕䁕时，ሺݔሺ，tݔ单调递增，33当时，ሺݔ，䁕1，不合题意．t3t13ሺݔ1ሺݔ，31，最大值1h3经检验31满足题意．故答案为31．13.已知函数ሺݔݔሺሺ点一意任上象图其在ݔ䁕䁕tሺtݔ处的切线，与x轴、y轴的正半轴分别交于M，N两点，设ܯሺ是坐标原点ݔሺ，时t当，ݔሺ为积面的ݔ取得最小值，则t的值为．【答案】3【解析】解：因为ሺݔ䁕䁕tሺtݔ，所以t，所以在点P处的切线的斜率为t，又t，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以在点P处切线方程为tt，令t，得ht，th令t得ܯ，t所以是坐标原点ݔ的面积为：1tth1httht13tሺݔhhth，tt1tt13httt所以3ht，tt由t，得，3当t䁕䁕时，䁕t，函数ሺݔ单调递增，3当时，䁕t，函数ሺݔ单调递增，3所以当时，ሺݔ取得最小值，此时t，333所以t．3故答案为3．1.函数ሺݔሺ式等不则，1ݔሺ’hݔሺ，的意任于对，tݔtሺ，R为域义定的ݔh1的解集为__________．【答案】ሺthݔ【解析】解：构造函数，则hht，为R上的增函数，tttt1，不等式ሺݔh1转化为t，t．则解集为th．故答案为th．三、解答题（本大题共3小题，共30分）1t15.已知函数ሺݔ1hሺݔh䁥h1．tሺⅠݔ若3是ሺݔ的极值点，求ሺݔ的单调区间；ሺⅡݔሺ若ݔ1恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司【答案】解：ሺⅠݔhtሺ为域义定的数函知意题由ݔ，ሺݔ1hሺݔh，3是ሺݔ的极值点，ሺ3ݔ3ሺh1ݔht，解得3，3ሺ1ݔሺ3ݔ当3时，ሺݔ，当x变化时，xሺt1ݔh3ሺ3ݔ31ሺ1ݔሺݔh00hሺݔ单调递增极大值单调递减极小值单调递增故ሺݔ在ሺt1ݔ上单调递增，在ሺ13ݔ上单调递减，在ሺ3hݔ上单调递增；1tሺⅡݔ1hሺ，时t当即，立成恒1ݔሺ得使要ݔh䁥t恒成立，t1tሺ1ݔሺݔ设ሺݔ1hሺݔሺ则，䁥hݔ1hሺݔh，tሺݔ1tሺ为间区减单得t䁕ݔሺ由，时t当ݔ，由ሺݔh1ሺ为间区增单得tݔ，11故ሺݔ1ሺ쳌ݔt，得；ttሺ쳌쳌ݔ1ሺ为间区减单得t䁕ݔሺ由，时1䁕䁕t当ݔ，由ሺݔh1ሺ，ݔtሺ为间区增单得tݔ，1此时ሺ1ݔ䁕t，不合题意；t1ሺ쳌쳌쳌ݔ当1时，ሺݔ在ሺthݔ上单调递增，此时ሺ1ݔ䁕t，不合题意；tሺ쳌香ݔ1ሺ为间区减单得t䁕ݔሺ由，时1当ݔ，由ሺݔhሺ，ݔ1tሺ为间区增单得tݔ，1此时ሺ1ݔ䁕t，不合题意．t1综上所述，a的取值范围为ሺh．t16.已知函数hln，11．ሺ1ݔ讨论函数的单调性ሺtݔ若不等式h在1h上恒成立，求实数a的取值范围．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 1h1【答案】解：ሺ1ݔሺ，ݔhtሺ是域义定ݔሺ数函ݔh，当t时，ሺݔhtሺ在ݔሺ数函，tݔ单调递增，无减区间；11当䁕t时，函数ሺݔ在ሺtݔ单调递增，在ሺhݔ单调递减，ሺtݔ由已知1䁥1ht在1恒成立，令ሺݔ1䁥1h，1，11则ሺݔh1在ݔሺ得易，ݔ递增，ሺݔ1ሺݔ，当t时，ሺݔh1在ݔሺ，tݔ递增，所以ሺݔ1ሺݔt成立，符合题意．11当t时，ሺ1ݔሺ，时1hݔ1hሺnl当且，t䁕ݔh11t，tሺ1hݔtሺ使，ݔt，即ሺ1tݔ1ሺ䁕ݔሺ，减递ݔt1ሺ在ݔሺ，t䁕ݔሺ时ݔt，不符合题意．综上得t．1t17.已知函数ሺݔሺ，hlnݔ䁪tht，䁪．tሺ1ݔ求函数ሺݔ的单调区间；ሺtݔ1tሺ在ݔሺ，时t当，ݔሺhݔሺݔሺ数函记ݔ上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．【答案】解：的定义域是ሺthݔ，1且ሺݔh；tt若t，则ሺݔhtሺ是间区增调单的ݔሺ，tݔ，若t，令ሺݔt，得，当t䁕䁕时，ሺݔሺ，时当，t䁕ݔt，ሺݔhሺ是间区增调单，ݔtሺ是间区减调单的ݔ；综上，当t时，ሺݔhtሺ是间区增调单的ݔ，无单调减区间；当t时，ሺݔhሺ是间区增调单，ݔtሺ是间区减调单的ݔ；ሺtݔt时，， 学科网（北京）股份有限公司1䁪tth1ሺݔ䁪th，ሺݔ在ሺt1ݔ上有且只有一个极值点，则ሺݔ1tሺ在tݔ上有唯一实数解，且两侧异号，由ሺݔt，得䁪tth1t；令ሺݔ1tሺ在ݔሺ则，1htt䁪ݔ上有且只有一个零点，易知ሺtݔ1t，1当䁪t，由ሺݔt，得，满足题意t䁪t当䁪t时，由，解得t䁕䁪䁕1；1䁪1䁕t䁪t当䁪䁕t时，，得䁪䁕1，故䁪䁕t；1䁪1䁕t综上所述，ሺݔ在ሺt1ݔ上有且只有一个极值点时，䁪䁕1．故实数b的取值范围为1．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司