备战2022年新高考数学45天核心考点专题19 解三角形（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题13解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ܽܿݏ，则的形状是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C解：ݏܽܿ，由正弦定理得݅݅ܿ，，sin݅ܿ，则݅ܿܿ݅݅ܿ，݅ܿܿ݅݅，即sin݅，、݅䁧，䁧，则݅，，是等腰三角形．故选：C．2.如图，在中，点D在边AB上，，⸸，⸸，，则AD的长为A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】解：设Ă，可得Ă，Ă⸸，Ă⸸在直角三角形BCD中，可得ܿ，ĂĂ⸸Ă⸸在三角形ABC中，可得ܿ，ĂĂ⸸Ă⸸Ă⸸Ă⸸即为，ĂĂĂ⸸即Ă⸸Ă⸸，解得Ă⸸， 可得⸸，故选：B．3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成݅的视角，从B岛望C岛和A岛成⸸的视角，则B，C间的距离是݅A.݅海里B.海里C.⸸海里D.⸸海里【答案】D【解析】解：由题意可得，݅，⸸，ͳ݅݅⸸⸸݅根据正弦定理可得，⸸故选D݅݅݅⸸4.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且，ܽݏ，则c的值为A.3B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，得由，得，所以ܽݏܽݏ，所以ݏݏ，解得ݏݏ݅舍去，故ܽݏ故ܽݏܽݏcos，故选C．5.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是，在D点测得塔顶A的仰角是，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA.20B.30C.40D.50 【答案】A【解析】解：由题题意，设，则，在中，݅，݅，根据余弦定理，得cos即：݅݅ܿ݅整理得݅ͳ݅݅݅，解之得݅舍去或݅即所求电视塔的高度为20米．故选A．6.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：如图连接AC，根据余弦定理可得ܿ，即，由于，所以݅䁧݅，所以⸸݅⸸，݅⸸݅⸸，所以所以为等腰三角形，设，⸸݅，由余弦定理， 故所求面积为．故选D．7.已知直三棱柱的底面是正三角形，，D是侧面的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为݅݅݅݅A.B.C.D.݅⸸݅⸸【答案】D【解析】解：因为球O与直三棱柱的所有面均相切，且直三棱柱的底面是正三角形，所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为，连接，则底面ABC．设BC的中点为E，连接AE，易知点在AE上，连接OD、DE，因为D是侧面的中心，所以四边形为正方形，设球O的半径为r，则由，可得，易得݅，连接OA，可得⸸， ݅cos，݅݅故所求弦长为cos．⸸故选D．8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线ݏ൅ܿcos݅与ܽ൅ܿcos݅平行，则一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：直线ݏ൅ܿܿ݅与ܽ൅ܿܿ݅平行，ݏܿ，ܽܿ解得ݏܿܽܿ，ܽݏݏܽ利用余弦定理可得：ݏܽ，ܽݏ整理可得：ݏܽݏܽݏܽ，解得：ܽݏ或ݏܽ，而当ܽݏ时，两直线重合，不满足题意；则是直角三角形．故选C．9.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式ܽݏ，这里ܽݏ，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，，cos，则该三角形内切圆半径A.B.C.݅D.⸸【答案】D【解析】解：因为ܽݏ，所以ܽݏ，因为，，所以ܽݏ⸸，三角形的内切圆半径，ܽݏݏܽ由余弦定理得cos，ݏ 所以ݏܽݏܽͳݏ，即ݏ⸸ܽ，所以ܽ，ݏͳ，所以ܽݏͳ⸸，所以⸸，故选D10.在AB中，若，则sinsintantanA.C的最大值为B.C的最大值为C.C的最小值为D.C的最小值为【答案】A【解析】解：因为，sinsintantancoscos所以，sinsinsinsinsinsinsincoscossin所以sinsinsinsinsinsin，sinsinsinsin所以݅݅݅，由正弦定理得到：ܽݏ，ܽݏܽݏ所以ܽݏܽݏܽݏܽݏܽݏ，cosܽݏܽݏܽݏܽݏ当且仅当ܽݏ时“”成立，所以，则C的最大值为．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20分）11.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为⸸、山脚A处的俯角为⸸，已知݅，则山的高度BC为______m．【答案】300 【解析】解：根据题意，可得Ă香中，香⸸，香݅݅，香香݅݅．݅⸸香中，香⸸⸸݅，香ͳ݅⸸݅⸸，香ͳ݅香香⸸，香݅香݅݅由正弦定理，得݅݅，sin香在Ă中，݅݅݅݅݅．故答案为300．12.在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的面积的最大值是______．【答案】ͳ【解析】解：如图所示，，，，设，在中，由余弦定理可得ܿ݅ܿ，在中，由余弦定理可得ܿ，联立可得ܿܿ，又四边形ABCD面积݅݅，即݅݅，可得݅݅ܿܿ，化简可得ܿ，由于cos，，݅，解得ͳ，当cos即时取等号，的最大值为ͳ．故答案为：ͳ．13.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径䁧两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点䁧，测得⸸，⸸，⸸，݅，则AB两点的距离为______． 【答案】⸸⸸【解析】解：易知在中，ͳ݅⸸，为等腰三角形，则⸸，在中，ͳ݅݅，݅⸸⸸，⸸所以由正弦定理得，即，得⸸，sin݅sin⸸在中，由余弦定理得⸸⸸⸸⸸⸸⸸，所以⸸⸸，即A，B两点的距离为⸸⸸，故答案为⸸⸸．14.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，݅，݅，⸸，则A，B两点间的距离是_______km．【答案】【解析】由于，݅，݅，⸸，所以ͳ݅݅݅݅݅，ͳ݅݅݅⸸⸸，sin݅在三角形ADC中，由正弦定理得，所以，sinsinsin݅在三角形BCD中，由正弦定理得，sinsinsin݅⸸所以，sin⸸ 在三角形ABD中由余弦定理得到cos݅ͳ，所以，故答案为．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且ܿݏܿܽܿ．求cosB的值；若，的面积为，求边b．ܽݏ【答案】解：由正弦定理，sinsinsin即ܿݏܿܽܿ，得݅ܿ݅ܿ݅ܿ，则有݅ܿsinsin݅．又݅䁧，则݅݅，则．因为݅䁧，则݅݅，．因为，所以ܽsinܽ，得ܽ．由余弦定理，则ݏ．ܿܿ，݅݅16.在ܽܿݏ，cossin݅݅这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． 求角A的大小；若ܽ，求面积的最大值．【答案】解：选，由正弦定理得sincossinsin，所以sincossinsinsincoscossin，即sincos݅，又݅䁧，所以sin݅，所以cos，又݅䁧，从而得．选，因为coscoscoscoscoscoscoscossinsincos，所以cos，coscos，又因为݅䁧，所以．选因为sinsinsinsinsin，所以sinsinsinsinsinsinsin，即sinsinsinsinsin，所以由正弦定理得ݏܽݏ，ݏܽ由余弦定理知cos，ݏ因为݅䁧，所以．由得，又ܽ，由余弦定理得ܽݏݏcosݏݏݏݏݏ， 所以ݏ，当且仅当ݏ时取得等号，，所以面积的最大值为．17.设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，cos䁧sin，cos䁧sin，与的夹角为．求角C的大小；已知，的面积，求ܽݏ的值．【答案】解：由已知，得．又，．又݅，．由面积公式，得由余弦定理，得c2ܽ2ݏ2ܽݏܿ，即ܽݏܽݏ联立，解得ܽݏ．18.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为݅，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径条香、PN、香㜠的长度和最小？ 条香条【答案】解：在三角形BPM中由正弦定理可得：，݅⸸݅⸸化简得条香条，同理可得条㜠条，条香条㜠条条݅݅为定值．在三角形PMN中，由余弦定理得香㜠条香条㜠条香条㜠ܿ݅条香条㜠条香条㜠条香条㜠݅݅݅݅条香条㜠݅݅݅݅݅݅݅݅݅݅，݅݅݅݅香㜠݅݅，当且仅当条香条㜠，即P为BC的中点时，MN取得最小值݅݅，条为BC的中点时，三条小径条香、PN、香㜠的长度和最小，且最小值为݅݅