专题13函数中的隐圆与隐距离问题内容导图一、隐半圆类型隐半圆常常出现的结构:(1);(2).隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式,且二次项系数为.如表示以原点为圆心,|a|为半径的圆的上半圆,表示以为圆心,|a|为半径的圆的上半圆,必要的时候可以进行三角换元,上的任意一点可以表示为上的任意一点可以表示为,此时的范围为.
例1:函数的最小值为________.【答案】【解析】令,则函数,它表示与连线的斜率,如图所示,由图可得:当与半圆相切时,函数取最小值,此时故答案为.例2:若直线与曲线有两个公共点,则的取值范围是___________.【答案】【解析】由题知曲线表示的是圆总在,半径1的圆的一半,直线恒过点,当直线与圆相切时,由,得(舍),,点与点连线的斜率为,所以得取值范围是.故答案为.例3:若方程仅有一解,则实数的取值范围是_________.【答案】
【解析】方程等价于.方程0仅有一解,即方程仅有一解,所以函数与函数的图像有且只有一个零点.如图所示,当时,直线与半圆相切,满足要求,当时,直线与半圆相交但只有一个交点,满足要求,所以实数的取值范围为.故答案为.例4:记,则的最大值为()A.4B.C.3D.【答案】【解析】设,所;当时,.因为,所以当时,的最大值为当时,,因为,所以当时,的最大值为,综上所述的最大值为,故选.例5:已知函数,若,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】
【解析】由,表示点与连线的斜率.如图所示,又,故取,点,当与圆的切线重合时取最小值,可求所以的最小值为;当与圆的切线重合时取最大值,可求,则的最大值为;故的取值范围是,故选.例6:已知正实数,满足,则的最小值是________.【答案】【解析】因为,又知,故,该式可以看作恒过定点的直线在轴,轴上的截距分别为,,设,过分别作轴,轴,则即表示的周长.根据题意,,作的旁切圆,与和延长线切于点、,易知,由于,即,解得:或者(舍),故当切点是点时,周长最小,此时取得最小值10.故答案为10.
二、二次函数类型形如模型,可以通过换元转化为二次函数的类型来处理.这种类型的特点就是根号下的式子和根号外式子相似,这样换元构造一个二次函数.例1:函数的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】【解析】设,则,则函数等价于,因为在上是增函数,.所以函数的最小值是3,故选.例2:已知函数的值域为,则实数的值为______.【答案】【解析】由题意可得可得,令,则,所以当时取得最大值,但由于,故当,即时,,解得.故答案为13.三、隐距离问题隐距离问题常常出现的结构如下:1.表示轴上的一点到点的距离.
2.表示轴上的一点到点和点的距离之和.3.表示轴上的一点到点和点的距离之差.4.表示:当时,轴上的一点到点和点的距离之和,当时,轴上的一点到点和点的距离之差,显然当时,距离之差无限靠近.例1:求函数的最小值.【答案】【解析】函数表示点到点和的距离之和.如图所示,作出关于轴的对称点,连接.由,而.即有函数的最小值为.例2:已知函数,求的最大值及相应的值.【答案】【解析】因为函数,所以.所以记,则点在轴上,点在轴上方,因为.
所以.三点,,共线时,取最大值.由,得直线的方程,令,得.所以的最大值为,此时例3:函数的值域为()A.B.C.D.【答案】【解析】由,如图所示,令,易知当时,轴非负半轴上任意一点,满足,故时,;当时,轴非正半轴上任意一点,满足,作轴于,当时,,故时,,故选.四、距离之差定理已知为直线外的两点,点点在直线上的射影为点点,点在直线上,如图1和图2所示:
图1图2(1),当且仅当、、三点共线时等号成立.(2)当时,记为,当在无穷远处时,根据极限原理,距离之差(3)同理当时,记为,当在无穷远处时,距离之差综上可得:.例1:求的最大值.【答案】【解析】如图所示,在函数的图像上求点,使得有最大值,表示点,分别到的距离差,则,的延长线与的交点为所求,.下面证明,在上找一点不同于点的点.在中,.即,因此最大值为.
达标训练1.函数的值域为()A.B.C.D.【答案】B【解析】令,则,因为,所以,所以.故选.
2.函数的值域是()A.B.C.[0,1]D.【答案】C【解析】由题意可得,,令,则等价于,设;则点在圆的上半部分,则的几何意义是半圆弧上的点与点连线的斜率,由图像知,直线的斜率最小,此时,直线的斜率最大,此时.故.故函数的值域为[0,1].故选.3.函数的值域是()A.B.[1,5]C.D.【答案】A【解析】.由,解得4.令,则,即两函数与的图像有交点,如图所示.由图可知,当直线和半圆相切时,最小,当直线过点时,最大.当直线与半圆相切时,由
,得(舍)或;当直线过点时,,得.所以函数的值域是.故选.4.若直线与函数的图像恰有3个不同的交点,则的取值范围为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,的图像由圆的下半部分与圆的上半部分组成,大致图像如图所示.直线恒过定点.当直线与圆1的上半部分相切时,;当直线经过点时,.数形结合可得,.故选C.5.方程的实根个数为()A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】令,则,方程可以转化为,即,平方可得,故此方程有仅有一解,.故选D.
6.设,则的值域为()A.B.C.D.【答案】A【解析】令,即可转化为,点到和点距离之差的取值范围,根据距离之差定理,当三点共线时,距离之差取得最大值,最小值时取不到的,在无穷远处,此时转化为两个点到轴的射影之差,而这两点的射影重合,故,所以.故选.7.已知点是抛物线上的动点,则的最小值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标,则,可知它的几何意义可得:抛物线上的点到与的距离的和,由抛物线的定义可知,到转化为到准线的距离,所以的最小值为.故选.8.若函数存在零点,则实数的取值范围是_______.【答案】
【解析】由题意得,表示了点与点的距离,表示了点与点的距离,如图所示,结合图像可得,,即,故实数的取值范围是.故答案为.9.若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】,表示以为圆心,半径为1的圆的上半圆,,图像关于对称,顶点为,若,顶点位于第二象限.要使两个图像有两个交点,则只要在半圆内即可，即,即,得得,得,因为,所以,当时,半圆和,一定有两个交点,满足条件.当时,在时,,一定与半圆有一个交点,要使与半圆有两个交点,则只需要当时,与圆的右半圆有一个交点即可,此时顶点一定在第四象限,当时的直线经过时,,得,此时对应的直线,要使与圆的右半圆有一个交点即可,则满足,即,因为,所以,综上,即实数的取值范围是.故答案为.
10.若曲线与直线始终有交点,则的取值范围是________.若有一个交点,则的取值范围是__________.若有两个交点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】曲线代表半圆,图像如图所示.当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离,解得.(舍去),当直线过时,把代人直线方程中解得;当直线过时,把代人直线方程中解得.根据图像可知直线与圆有交点时,的取值范围是;当有一个交点时,的取值范围为;当有两个交点时,的取值范围是.故答案为;11.函数的值域为________.【答案】【解析】令,函数,根据距离之差定理,当趋于正无穷大时,的值趋于正无穷大,当趋于负无穷大时,的值趋于射影之差,即.故函数的值域为.12.已知,则二元函数的最小值是_______.
【答案】【解析】由题意,的最小值为的最小值为,所以的最小值,设,表示与的距离的和,取关于轴的对称点与的距离为,此时,所以.故答案为.13.函数的最大值为________.【答案】5【解析】其几何意义是函数上一点分别到两点的距离之差,求其最大值函数和两点连线的延长线有交点,在轴左侧,它到两点距离之差必然最大,因为两点之间直线最短,故最大值为两点距离,即.故答案为5.14.过点直线与曲线交于,两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率等于______.
【答案】【解析】如图,因为当时,面积最大.此时到的距离.设方程为,即.由得.故答案为.15.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】将方程转化为半圆与直线有两个不同交点,如图所示,当直线与半圆相切时,有,所以半圆与直线有两个不同交点时.直线,一定过,由图像知直线过时直线的斜率取最大值为1,故.故答案为.
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