2022年高考数学重点必备解题方法06 常见的奇偶函数与性质全归纳(解析版)

专题06常见的奇偶函数与性质全归纳知识点一:奇偶函数特性奇函数性质:(1)为奇函数,定义域关于原点对称,图像关于原点对称.(2)为奇函数.(3)若奇函数的定义域包含0,则.(4)若既为奇函数,又是周期函数,则的半周期是零点偶函数性质:(1)为偶函数,定义域关于原点对称,图像关于轴对称.(2)若函数是偶函数,则恒成立.(3)若偶函数在处可导,则知识点二:常见必背奇偶函数常见的奇函数:常见的偶函数:评注: 当不了解函数的性质和特点,就难以把握解题思路,同学们应当尽量将常见的奇函数与偶函数记牢,不仅可以迅速辨别函数的奇偶型,同时也能开拓解题思路,快速找到解题方法.例1:若为奇函数,则实数.【答案】-1【解析】因为为奇函数且有意义,所以,即,所以例2:是否存在实数使为奇函数?若存在.【答案】1【解析】的定义域为.要使是奇函数,需,解得经验证:当时,,即是奇函数.所以存在实数使函数奇函数.例3:已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是.A.B.C.D.【答案】【解析】由题设及偶函数特性,可得.故选C.例4:若,则是.A.奇函数,且在上是增函数 B.奇函数,且在上是减函数C.偶函数,且在上是增函数D.偶函数,且在上是减函数【答案】A【解析】的定义域为,关于原点对称,又因为,所以为奇函数,显然在上单调递增,故选.同时是上文提到的常见的奇函数,接下来只需要判断单调性就可以.例5:设函数为常数).若为奇函数,则;若是上的增函数,则的取值范围是__________.【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式,据此可得的值,然后利用可得的取值范围.若函数为奇函数,则,即,即对任意的恒成立,则,得.同时上文提到为常见的奇函数,所以也可以快速得出.若函数是上的增函数,则在上恒成立,即在上恒成立,又,则,即实数的取值范围是.例6:若是偶函数,则.【答案】【解析】因为是偶函数,所以,解得. 知识点三:奇偶函数的四则运算偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=偶函数偶函数奇函数=奇函数例6:若函数为偶函数,则_______.【答案】1【解析】由题意可知,函数是奇函数,奇函数奇函数=偶函数,所以函数是奇函数,所以,即,解得.例7:函数的图像.A.关于轴对称B.关于原点对称C.关于直线对称D.关于轴对称【答案】B【解析】因为,所以其定义域为.因为,所以为奇函数.因此函数的图像关于原点对称,故选B.同时我们容易判断为偶函数,为奇函数,所以根据函数奇偶性的四则运算,为奇函数.例8:已知是偶函数,且不恒等于零,则是. A.奇函数B.偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数【答案】A【解析】因为,所以,令,则,所以是奇函数.因为是偶函数,所以为奇函数.知识点四:奇函数特性深度拓展(1)若是奇函数,则在两个对称的区间上单调性相同.(2)若是奇函数,,则.(3)若是奇函数,且有最大(小)值,则有最小(大)值,且最大值与最小值互为相反数.例9:函数在上的最大值与最小值之和为_______.【答案】2【解析】.令,则在上是奇函数.由奇函数的性质知在上的最大值与最小值之和是0,所以函数在上的最大值与最小值之和为2.例10:若关于的函数的最大值为,最小值为,且,则实数的值为_______. 【答案】2【解析】由已知,而函数为奇函数,函数最大值为,最小值为,且,所以,,解得.例11:已知,设的最大值为,最小值为,那么_________.【答案】4036【解析】,注意到和都为奇函数,故对函数考虑构造新函数,则为奇函数,因此在上有,所以. 达标训练1.设为定义在上的奇函数,当时,,则.A.3B.1C.D.【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数,所以,解得,所以当时,,因此.故选.2.定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个周期,若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为.A.0B.1C.3D.5【答案】D【解析】根据题意,.所以.由奇函数的特性,可得 ,得方程在闭区间上有根.故选.3.设为定义在上的奇函数,当时,,则.A.3B.1C.D.【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数,所以,解得,所以当时,,因此.故选.4.已知,则使得成立的的取值范围是.A.B.C.D.【答案】【解析】易知是偶函数.当时,,所以在上单调递增,因此.故选.5.偶函数在区间上单调递增,满足的的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】因为为偶函数,所以.因为在上单调递增,所以 ,解得.故选.6.若函数的最大值为,最小值为,则.A.B.C.D.【答案】D【解析】.令,则是奇函数,且的最大值、最小值分别是.由奇函数的性质可得.7．已知定义在上的奇函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：已知定义在上的奇函数在上单调递增，所以在上单调递增， ，则，当时，在上单调递增，，则有，解得：，当时，在上单调递增，，则有，解得：，综上得的取值范围为：或，所以的解集为.故选：D.8．定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　）A．(,1)B．(∞,)∪(1,+∞)C．(,+∞)D．(∞,)【答案】A【解析】当时，，又，∴，即在上单调递减．∵是定义在R上的偶函数， ∴是定义在R上的偶函数，由不等式，则有，∴，解得：．∴不等式的解集为．故选：A9．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．【答案】D【解析】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D. 10．已知函数的定义域为，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为函数的定义域为，为偶函数，所以，所以函数关于对称.因为函数在为增函数，所以函数在为减函数.不等式等价于，即或，令得到：或.当时，无解.当时，，解得：，即，.故选：B.11．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】令，定义域为，因为函数为奇函数，所以，则函数是定义在上的奇函数，，因为任意的，有，所以当时，，则在上单调递增，则函数是上的奇函数并且单调递增，由，因为，所以，即，所以，又因为，因此.故选：C.12．已如的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A．B．2C．0D． 【答案】A【解析】的图像关于点对称，所以关于原点对称，为奇函数．由于，所以，所以是周期为4的周期函数．所以．，而，∴即，．故选：A．13．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A．B．C．0D．2【答案】B【解析】解：因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，又对，都有成立，所以， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，因为时，，所以，故选：B.14．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．0B．2C．3D．【答案】A【解析】当时，－，所以即当时，，所以，，所以f(－2015)＋f(2017).故选：A 15．已知奇函数的定义域为，且．若当时，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为奇函数且，，，即为周期为的周期函数，，又，.故选：B.16.若函数为偶函数,则.【答案】1【解析】因为为偶函数,所以,,解得17.已知偶函数在上单调递减,.若,则的取值范围是【答案】【解析】根据题意,.18.判断且的奇偶性________. 【解析】要使有意义,则,即.因为.所以,因此为偶函数.19.设函数的最大值为,最小值为,则__________.【解析】首先整理一下函数,.可以发现,函数在局部的地方为奇函数,令,则为奇函数.我们知道,奇函数的图像关于原点对称,则假设,,其中,所以,即最大值与最小值相加为0.所以,即.20.已知函数,其导函数记为,则_________.【答案】2【解析】,则.令,则,显然为奇函数,为偶函数,所以,,所以21．设函数的定义域为集合A，值域为集合． （1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0；（2）.【解析】解：（1）,由得，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，又，为奇函数.所以=0；（2）函数在上，，，，或，解得或，实数的取值范围为.22．已知函数对一切都有．（1）求证：是奇函数；（2）设，用表示．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)证明:显然的定义域是R，关于原点对称.又函数对一切都有, 所以令，得.再令，得，所以，所以函数为奇函数.(2)因为，且函数为奇函数，所以，又，,所以.故.23．已知是定义在上的奇函数，且当时，，（1）求在上的解析式；（2）求在上的值域；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）当时,,,因为是上的奇函数所以,（2）当时,, ,,所以在上的值域为；（3）当时,,,所以,故.24．已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的，都有．（1）求和的值；（2）证明：为奇函数，并且；（3）若在区间上单调递减，直接写出关于的不等式的解集【答案】（1），.（2）证明见解析（3）【解析】（1）令，可得求得，再令，可得求得. （2）分别令和，求得，进而得到，得出函数为定义域上的奇函数，再令，结合，即可得到.（3）根据函数为奇函数，得到，转化为，由函数在区间上单调递减，且，证得函数在区间上单调递增，结合，列出不等式组，即可求解.（1）解：因为函数满足，且当时，恒成立，令，可得，因为，所以，令，可得，即，因为，且当时，恒成立，所以.（2）解：由题意，函数的定义域关于原点对称，令，可得，令，可得，用代换，可得，所以，因为，，所以，所以函数为定义域上的奇函数.令，可得， 因为，可得，即.（3）解：因为函数为奇函数，可得，则不等式，即为，因为，所以，由函数在区间上单调递减，且，设且，可得，则所以，即，所以函数在区间上单调递增，所以不等式转化为，解得，解不等式的解集为.