2022年高考数学重点必备解题方法12 函数分离参数与恒成立问题(原卷版)

专题12函数分离参数与恒成立问题内容导图一、轴动区间和轴定区间动口诀:轴在区间内,顶点定;轴在区间外,单调定.例1:若函数在上为单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.∪D.例2:已知函数在上有最大值,最小值,则的取值范围是() A.B.C.D.例3:若函数,若对任意不等式恒成立,则实数的最大值为________.例4:设函数.(1)已知函数的定义域为,求实数的取值范围;(2)已知方程有两个实数根,且,求实数的取值范围.二、参变分离型1.恒成立与能成立类型之同号型 我们规定,当决定抛物线开口方向的的符号与恒成立(能成立)的符号一致时,即,此类型题目基本上都是分类讨论法复杂,而参变分离法简单.还要说明的一点就是参数尽量为一次.例5:已知不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是_______________.例6:已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,恒成立,求的取值范围.例7:已知函数.(1)若函数有唯一的零点,求的值;(2)设,若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围. 例8:已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.例9:设二次函数为.(1)若对任意实数恒成立,求实数的取值范围;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范圃. 2.两零点分布在同一区间问题二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时,参变分离转化为区间的值域或者交点问题,显然事半功倍.例10:已知.(1)若且,求的单调区间;(2)当为何值时,有2个零点,且均比大.例11:若关于的一元二次方程至少有一个正根,求的取值范围.三、卡根法1.恒成立(能成立)的异号类二次函数开口方向和不等号方向反向,即怛成立,或者恒成立. 例12:不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.2.零点问题的分散或者范围内单个零点如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时,端点值的正负号将决定参数的取值范围.例13:若方程的一个根在内,另一个根内,则实数的取值范围是()A.B.C.D.例14:已知关于的方程的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数的取值范围是__________.四、综合问题的处理策略在轴动区间定的情况下,若参变分离出现正负号不确定时也需要分类讨论,不等号方向涉及改变,此时只需要分两类,而常规的卡根法需要分三类.例15:已知函数,若时,恒成立,求的取值范围. 例16:已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围.例17:已知函数.(1)若函数是偶函数,求实数的值;(2)若函数,关于的方程有且只有一个实数根,求实数的取值范围.达标训练1.不等式在上恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D. 2.函数在上不单调,则实数的取值范围是()A.B.C.D.3.已知一元二次方程有两个负根,则实数的范围为()A.B.C.D.4.二次函数在区间]上是增函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.已知方程至少有一个负根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.∪6.已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是()A.B.C.D.7.设函数,其中,若对任意的至少有一个为非负值,则实数的最大值是()A.B.C.D.8.若不等式在时恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.∪ 9.已知关于的方程有一根大于,另一根小于,则实数的取值范围是()A.B.C.D.10.关于的方程在区间内有两个不等实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.11.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.12.设,若关于的不等式在区间上有解,则()A.B.C.D.13.设函数(1)若对于一切实数恒成立,则的取值范围是____________;(2)若对于恒成立,则的取值范围是_______________.14.已知,若对任意,不等式恒成立,则实数的最大值为____________.15.关于的不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是________________.16.不等式对任意的恒成立,则的取值范围为_______________. 17.若不等式对怛成立,则实数的取值范围是________________.18.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为_________________.19.已知,且在内有两个不同的零点,则实数的取值范围是___________.20.若方程的一个根在区间上,另一根在区间上,则实数的取值范围为______________.21.已知,当时,恒成立,则实数的取值范围是_____________.22.设函数.(1)若对于一切实数恒成立,求的取值范围;(2)若对于恒成立,求的取值范围. 23.已知函数.(1)当为何值时,函数在上有两个零点;(2)当为何值时,函数有两个零点且均比大.24.已知函数在区间上的最小值为,函数.(1)求的值;(2)若存在使得在上为负数,求实数的取值范围.25.已知函数. (1)讨论不等式的解集;(2)若对于任意恒成立,求参数的取值范围.26.已知函数.(1)若不等式的解集是,求实数与的值;(2)若,且不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.