学科网（北京）股份有限公司7.3实验用单摆测重力加速度一、实验目的1.学会用单摆测量当地的重力加速度。2.能正确熟练地使用秒表。二、实验设计1.实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。2.实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。三、实验步骤1.做单摆取约1m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。2.测摆长用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。3.测周期将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30次～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。4.改变摆长，重做几次实验。四、数据处理学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司1.公式法将测得的几次的周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。2.图像法由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，g＝4π2k。五、误差分析1.系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可看做质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。2.偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2，…在数“零”，的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。六、注意事项1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。可通过估算振幅的办法掌握。4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时接下秒表，开始计时计数。学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司必备知识清单命题点精析（一）实验原理与实验操作典型例题例1某同学利用单摆测量重力加速度。(1)(多选)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是( )A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B.组装单摆须选用轻质且不易伸长的细线C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆。实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离Δl。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________。【答案】(1)BC (2)【解析】(1)在利用单摆测定重力加速度实验中，为了使测量误差尽量小，须选用密度大、直径小的摆球和不易伸长的细线，摆球须在同一竖直面内摆动，摆长一定时，振幅尽量小些，以使其满足简谐运动的条件，故选B、C。(2)设第一次摆长为l，第二次摆长为l－Δl，则T1＝2π，T2＝2π，联立解得g＝。学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司练1实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。(1)实验室有如下器材可供选用：A．长约1m的细线B．长约1m的橡皮绳C．直径约2cm的铁球D．直径约2cm的塑料球E．米尺F．时钟G．停表实验时需要从上述器材中选择：________(填写器材前面的字母)。(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下：①将单摆上端固定在铁架台上。②测得摆线长度，作为单摆的摆长。③在偏角较小的位置将小球由静止释放。④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆振动周期T＝。⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。其中有一处操作不妥当的是________。(填写操作步骤前面的序号)(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式g＝________________。学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因____________________________。【答案】 (1)ACEG (2)② (3)(4)T＝2π是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动【解析】 (1)实验时需要从上述器材中选择：A.长约1m的细线；C.直径约2cm的铁球；E.米尺；G.停表；故选ACEG。(2)其中的第②步骤中应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长。(3)根据T＝2π可得：T1＝2πT2＝2π联立解得：g＝。(4)T＝2π是单摆做简谐运动的周期公式；当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动。练2(多选)(2020·武汉市五月质检)在用单摆测量重力加速度的实验中，下列说法正确的是( )A．尽量选择质量大、体积小的摆球B．用刻度尺测量摆线的长度，将其作为单摆的摆长C．为方便测量，可以让单摆的振幅尽可能大D．释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T＝【答案】AD【解析】尽量选择质量大、体积小的摆球，可以减小阻力使实验更准确，A学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司正确；用刻度尺测量摆线的长度，用游标卡尺测出小球的直径算出半径，则线长加半径作为摆长，B错误；为了准确，单摆的振幅尽可能小，最大不超过5°，C错误；为了准确可以多测几个周期，比如释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T＝，D正确。命题点精析（二）数据处理与误差分析例2在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝。只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示。(1)造成图像不过坐标点的原因可能是________________________；(2)由图像求出的重力加速度g＝________m/s2；(取π2＝9.87)(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。A．测摆线时摆线拉得过紧B．先测摆长，再测周期，在测周期时，上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时时，停表过迟按下D．实验时误将49次全振动数记为50次【答案】(1)测摆长时漏掉了摆球的半径 (2)9.87 (3)B【解析】 (1)图像不通过坐标原点，将图像向右平移1cm就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小1cm，故可能是漏加小球半径；(2)由：T＝2π得：T2＝4π2学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司则有：＝k＝4解得：g＝9.87m/s2；(3)根据g＝，测摆线时摆线拉得过紧，则摆长的测量值偏大，导致重力加速度的测量值偏大，故A错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加，故摆长的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏小，故B正确；开始计时时，停表过迟按下，周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，故C错误；实验时误将49次全振动数记为50次，周期的测量值偏小，导致重力加速度测量值偏大，故D错误。练3利用单摆测量当地重力加速度的实验中。(1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝________cm。(2)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出l－T2图像。l/m0.4000.5000.6000.8001.200T2/s21.602.102.403.204.80由图像可得重力加速度g＝________m/s2(保留3位有效数字)。(3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的________。【答案】(1)2.26 (2)图见解析 9.86 (3)B学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【解析】 (1)小球的直径d＝22mm＋0.1mm×6＝22.6mm＝2.26cm。(2)l－T2图像如图所示由T＝2π可得：l＝T2，k＝对应图像可得k＝＝0.25可解得g＝4π2k≈9.86m/s2。(3)在实验中，若摆长没有加小球的半径，其他操作无误，可得l＝T2－。故可知B正确，A、C、D均错误。练4在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是______m。若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s。单摆摆动周期是________s。【答案】 0.8750 75.2 1.88【解析】 该题是对利用单摆测重力加速度实验的综合考查。学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司由T＝2π可知g＝。由图可知摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m。秒表的读数t＝60s＋15.2s＝75.2s，所以T＝＝1.88s。命题点精析（三）创新实验设计例3甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。(1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________。(用器材前的字母表示)a.长度接近1m的细绳b.长度为30cm左右的细绳c.直径为1.8cm的塑料球d.直径为1.8cm的铁球e.最小刻度为1cm的米尺f.最小刻度为1mm的米尺②该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝________。(用所测物理量表示)学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v－t图线。①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s。②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2－l(周期二次方—摆线长)图像，并根据图像拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)【答案】(1)①adf ② (2)①2.0 ②9.76【解析】 (1)①根据T＝2π得g＝，则可知要准确地测量出当地的重力加速度需要测量摆长，摆长等于摆线的长度和摆球的半径之和，所以选择长度近1m的细绳，直径为1.8cm的铁球，需要测量摆线长，所以需要最小刻度为1mm的米尺，故选a、d、f。②因为T＝，则g＝。(2)①根据单摆振动的v－t图像知，单摆的周期T＝2.0s。②根据T＝2π得T2＝，图线的斜率k＝＝4.04，解得g≈9.76m/s2。练5(多选)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，如果测得g值偏小，可能的原因是( )A.测摆线长时摆线拉得过紧B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C.开始计时时，秒表过早按下D.单摆振动时，振幅较小学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司【答案】BC【解析】 测摆线长时摆线拉得过紧，l偏大，由g＝可知，所测重力加速度g偏大，故A错误；摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，即所测摆长偏小，由g＝可知，所测重力加速度偏小，故B正确；开始计时时，秒表过早按下，所测周期T偏大，由g＝可知，所测重力加速度偏小，故C正确；单摆振动时，振幅大小不影响周期，不影响g的测量，故D错误。 练6某同学利用单摆测量当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得6组l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________(用图中标注字母表示)。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(填“偏大”“偏小”或“相同”)。【答案】 相同【解析】 由单摆的周期公式T＝2π，得T2＝4π2，则T＝4π2，T＝4π2，可得g＝，由此式可知测得的g与某一次实验时的摆长无关，与两次实验中的摆长差有关，所以g值与摆球重心在不在球心处无关。例4某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中，测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中。图中各坐标点的标号分别对应实验中5种不同摆长的情况。在处理数据时，该同学实验中的第________数据点应当舍弃。画出该同学记录的T2－l学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司图线。求重力加速度时，他首先求出图线的斜率k，则用斜率k求重力加速度的表达式为g＝________。【答案】4 【解析】 将图中各点连线如图所示，可见第4点偏离直线较远，则该点误差较大，所以第4数据点应舍去；在T2－l图线中直线的斜率为k＝，由T＝2π得g＝，则g＝＝。练7某同学利用单摆测定当地的重力加速度。(1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表。除此之外，还需要的器材有________。A.长度约为1m的细线B.长度约为30cm的细线C.直径约为2cm的钢球D.直径约为2cm的木球E.最小刻度为1cm的直尺F.最小刻度为1mm的直尺学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________。(3)该同学经测量得到6组摆长l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示，则当地重力加速度的表达式g＝________。处理完数据后，该同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样________(选填“影响”或“不影响”)重力加速度的计算。(4)该同学做完实验后，为使重力加速度的测量结果更加准确，他认为：A.在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定B.摆线偏离平衡位置的角度不能太大C.测量周期时应该从摆球运动到最高点时开始计时其中合理的有________。【答案】(1)ACF (2)95.1s (3) 不影响 (4)AB【解析】 (1)由单摆周期公式T＝2π可得g＝l。实验需要测量摆长，摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，所以需要毫米刻度尺。实验需要测量周期，则需要秒表，摆线的长度大约1m。为减小空气阻力的影响，摆球需要密度较大的摆球，因此摆球应选C。故选用的器材为A、C、F。(2)秒表读数：内圈读数：60s，外圈读数35.1s，总读数为：t＝60s＋35.1s＝95.1s。(3)由T＝2π可得l＝T2，则l－T2图像的斜率等于，由数学知识得＝＝，解得g＝；根据数学知识，在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样不影响重力加速度的计算。学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司(4)为使重力加速度的测量结果更加准确，在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定，防止振动过程中摆长变化，故A正确；摆线偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故B正确；测量周期时应该从摆球运动到最低点时开始计时，这样会减小误差，故C错误。练8有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”他们通过网络交换实验数据。并由计算机绘制了T2－l图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)。另外，在南大做实验的同学还利用计算机绘制了该实验室a、b两个摆球的振动图像(如图乙)，由图乙可知，两单摆摆长之比＝________，在t＝1s时，b球振动的方向是____________。【答案】 B 沿y轴负方向【解析】由单摆的周期公式T＝2π得，T2＝l，图线的斜率k＝，重力加速度越大，斜率越小，我们知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同学所测实验结果对应的图线是B。由题图乙可得，Tb＝1.5Ta，由单摆的周期公式得Ta＝2π，Tb＝2π，联立解得＝；从题图乙可以看出，t＝1s时b球正在向负的最大位移方向运动，所以b球的振动方向是沿y轴负方向。练9.某小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50kg。r/m0.450.400.350.300.250.20T/s2.112.142.202.302.432.64(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示________。(2)Ic的国际单位为________，由拟合直线得到Ic的值为________(保留到小数点后两位)。(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。【答案】 (1)T2r (2)kg·m2 0.17 (3)不变【解析】(1)由T＝2π，可得T2r＝＋r2，所以图中纵轴表示T2r。(2)Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2；结合T2r＝＋r2和题图中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17。(3)重力加速度g的测量值是通过求斜率得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。学科网（北京）股份有限公司
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