新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.3 平面向量的数量积

第三节　平面向量的数量积 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________，并规定零向量与任一向量的数量积为_____．|a||b|cosθ|a||b|cosθ0 (2)几何意义①向量的投影________________叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．②向量的数量积：数量积a·b等于a的长度|a|与_______________________的乘积．(3)向量的夹角已知两个______向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作_______．|a|cosθ(|b|cosθ)b在a方向上的投影|b|cosθ非零a⊥b 2．平面向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ.①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝_______＝a·λb(λ∈R)；③分配律：(a＋b)·c＝_______．λ(a·b)a·c＋b·c 3．平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角．①e·a＝a·e＝_______．②a⊥b⇔_______．③当a与b同向时，a·b＝_______；当a与b反向时，a·b＝______．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝_______．④cosθ＝_______．⑤|a·b|_______|a||b|.|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||b|≤ 4．平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角．向量表示坐标表示向量a的模|a|＝|a|＝a，b的数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝_______a与b垂直a⊥b⇔a·b＝0a⊥b⇔_______a与b的夹角cosθ＝cosθ＝x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()2．两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()3．由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()4．在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()√√×× 题组二教材改编1．(多选题)已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为1，且2＝，||＝||，则向量在向量上的投影为()A．－B．C．－D．答案：D 解析：∵2＝，∴＝)．∴O为BC的中点，∴OA＝OB＝AB＝1.∴△AOB为正三角形，∴∠ABC＝60°，∴在方向上的投影为||cos∠ABC＝1×cos60°＝.故选D. 2．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由题意知＝，e1·e2＝，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝＋e1·e2＝－，|a|＝|2e1＋e2|＝，|b|＝|－3e1＋2e2|＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.故选C.答案：C 3．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，当λ＝________时，a＋λb与a垂直．解析：由已知得a＋λb＝(1＋λ，λ)．∵(a＋λb)⊥a，∴(1＋λ，λ)·(1，0)＝0，即1＋λ＝0，∴λ＝－1.答案：－1 题组三易错自纠1．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.答案：B 2．(多选题)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，下列命题中正确的是()A．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形B．若a·b－，当a与b同向时，设a＝λb(λ>0)，则＝λ，所以，解得x＝，从而x>－且x≠.故选C. (3)[2020·浙江卷]已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________．答案： 解析：(3)解法一：因为单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤，所以|2e1－e2|2＝5－4e1·e2≤2，即e1·e2≥.因为a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，a，b的夹角为θ，所以cos2θ＝＝＝＝.不妨设t＝e1·e2，则t≥，cos2θ＝，又y＝在上单调递增，所以cos2θ≥＝，所以cos2θ的最小值为. 解法二：由题意，不妨设e1＝(1，0)，e2＝(cosx，sinx)．因为|2e1－e2|≤，所以，得5－4cosx≤2，即cosx≥.易知a＝(1＋cosx，sinx)，b＝(3＋cosx，sinx)，所以a·b＝(1＋cosx)(3＋cosx)＋sin2x＝4＋4cosx，|a|2＝(1＋cosx)2＋sin2x＝＝(3＋cosx)2＋sin2x＝10＋6cosx，所以cos2θ＝＝＝.不妨设m＝cosx，则m≥，cos2θ＝，又y＝在上单调递增．所以cos2θ≥＝，所以cos2θ的最小值为. 类题通法求向量夹角的2种方法(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝求得．(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]. 巩固训练3：(1)设a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a与b的夹角的余弦值等于()A．－B．－C．D．解析：∵a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)．设b＝(x，y)，则(2－2x，4－2y)＝(0，8)，∴解得x＝1，y＝－2，∴b＝(1，－2)．∴cos〈a，b〉＝＝＝＝－.故选B.答案：B (2)[2021·模拟]已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意，设e1＝(1，0)，e2＝(0，1)则e1－e2＝(，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)，又夹角为60°，∴(e1－e2)·(e1＋λe2)＝－λ＝2××cos60°，即－λ＝，解得λ＝.答案： 角度3|平面向量的垂直[例4](1)[2020·全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－b解析：要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直，只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cos60°＋2|b|2＝1×1×cos60°＋2×12＝≠0.B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos60°＋|b|2＝2×1×1×cos60°＋12＝2≠0.C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cos60°－2|b|2＝1×1×cos60°－2×12＝－≠0.D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0.故选D.答案：D (2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ，且⊥，则实数λ的值为()A．B．C．D．解析：因为向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，所以·＝3×2×cos120°＝－3.若＝λ，且⊥，则·＝(λ)·()＝－＋(λ－1)·＝4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝.故选A.答案：A 类题通法平面向量垂直问题的2个类型(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 巩固训练4：(1)已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，0)且ka＋b与a互相垂直，则k＝()A．B．C．－D．－解析：由题意知，(ka＋b)·a＝ka2＋a·b＝k(1＋1)＋(－1)＝0，解得k＝.故选B.答案：B (2)[2020·全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．解析：因为(ka－b)·a＝ka2－a·b＝0，且单位向量a，b的夹角为45°，所以k－＝0，即k＝.答案： 高考·命题预测 [预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知e1，e2是夹角为的单位向量，若|ae1＋be2|＝，(a，b∈R)，则a＋b的最大值为________．解析：由已知得：化简得a2＋ab＋b2＝3.∴(a＋b)2＝3＋ab≤3＋，∴(a＋b)2≤4，∴a＋b≤2，当且仅当a＝b时取“＝”．答案：2 [预测2]新题型——多选题已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＝0，且||＝||，下列结论正确的是()A．在方向上的投影长为－B．·＝·C．在方向上的投影长为D．·＝·答案：BCD 解析：由＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影为||cos＝2×＝，故C正确．因为·＝2×2×＝－2＝··＝2×2×＝2＝·，故B、D正确．故选BCD. 状元笔记解决数量积最值问题的四种方法一、函数法[典例1](1)已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，则·的最大值为________．【解析】·＝sinθ＋cosθ＝2sin≤2，故·的最大值为2.【答案】2 (2)[2021·山东青岛五十八中模拟]在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ，其中2λ＋μ＝3，||的最小值为________．【解析】∵||＝，||＝1，∠AOB＝45°，∴OA⊥AB，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0，0)，B(0，1)，O(1，0)．又＝λ＋μ＝(－λ－μ，μ)，则||＝，又2λ＋μ＝3，∴||＝＝＝，∴当λ＝时，||min＝.【答案】 二、换元法[典例2](1)设，，是单位向量，且·＝0，则(－)·(－)的最小值为()A．－2B.－2C．－1D．1－【解析】依题意，设＝(1，0)，＝(0，1)，＝(sinθ，cosθ)，则－＝(1－sinθ，－cosθ)，－＝(－sinθ，1－cosθ)，(－)·(－)＝－sinθ(1－sinθ)－cosθ(1－cosθ)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－sin，则其最小值是1－.【答案】D (2)已知平面向量，，||＝1，||＝2，·＝1，若e→为平面单位向量，则|·|＋|·|的最大值是________．【解析】由·＝1，||＝1，||＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设＝(1，0)，＝(1,)，＝(cosθ，sinθ)，则|·|＋|·|＝|cosθ|＋|cosθ＋sinθ|≤|cosθ|＋|cosθ|＋|sinθ|＝|sinθ|＋2|cosθ|≤，所以|·|＋|·|的最大值为.【答案】 三、数形结合法[典例3]已知，是单位向量，·＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的取值范围是()A．[－1,＋1]B．[－1,＋2]C．[1,＋1]D．[1,＋2]【解析】以和分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则＝(1，0),＝(0，1)，设＝(x，y)，则－－＝(x－1，y－1)，∵|－－|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即(x，y)是以点M(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点，而||＝.所以||可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|－r≤||≤|OM|＋r，即||∈[－1,＋1].故选A.【答案】A 四、基本不等式法[典例4](1)在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．【解析】由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，AB·AC≤.所以·＝AB·AC·cos≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时取等号．【答案】－ (2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝(2cosC－1，－2)，＝(cosC，cosC＋1)，若⊥，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为()A．10－5B．10＋5C．10－2D．10＋2【解析】∵⊥，∴·＝0，即2cos2C－cosC－2cosC－2＝0.整理得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－，cosC＝2(舍去)．又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)＝102－2ab≥100－＝100－25＝75，∴c≥5，则△ABC的周长为a＋b＋c≥10＋5.故选B.【答案】B