第2课时 直线与椭圆的位置关系
课堂·题型讲解高考·命题预测
课堂·题型讲解
题型一 直线与椭圆的位置关系[例1]已知直线l：y＝x＋m，椭圆C：＋＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．
解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.③Δ＝(8m)2－4×7×(4m2－12)＝－48m2＋336.(1)当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－或m＞时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
类题通法判断直线与椭圆位置的关系的方法(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
巩固训练1：(1)(多选题)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为()A．相交B．相切C．相离D．一定相交解析：直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋，∴定直线恒过定点(，).而点(，)在椭圆上，所以该直线与椭圆＋＝1可能相切也可能相交．故选AB.答案：AB
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0，1)∪(1，5)D．[1，5)∪(5，＋∞)解析：由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.故选D.答案：D
题型二 有关椭圆中弦的问题高频考点角度1|弦长问题[例2]已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
巩固训练2：已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为()A．±1B．±C．D．±答案：A
角度2|中点弦问题[例3][2021·模拟]已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，已知椭圆M的离心率为，且过点(1，).(1)求椭圆M的方程；(2)若过点N(1，1)的直线与椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．
解析：(1)由e＝＝＝，得3a2＝4b2.将(1，)代入椭圆方程得＋＝1，解得a＝2，b＝.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ).∵线段PQ的中点恰好为点N.∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.∵＋＝1，＋＝1两式相减可得(xP＋xQ)(xP－xQ)＋(yP＋yQ)(yP－yQ)＝0，∴＝－.即直线PQ的斜率为－，∴直线PQ的方程为y－1＝－(x－1)即3x＋4y－7＝0.
类题通法处理中点弦问题常用的方法(1)点差法，设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率，借助中点坐标公式即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．特别要注意的是，中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．
巩固训练3：焦点是F(0，5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为____________．答案：＋＝1
解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意，可得弦AB的中点坐标为(，)，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型三 直线与椭圆的综合问题[例4][2020·天津卷]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3＝，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P.且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．
解析：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为y＝kx－3.由方程组消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝.依题意，可得点B的坐标为(，).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为(，).由3＝，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率为，即.又因为AB⊥CP，所以k·＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.所以，直线AB的方程为y＝x－3或y＝x－3.
类题通法(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
巩固训练4：已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
因为⊥，所以·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝＝0，解得k2＝，即k＝±，故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
高考·命题预测
[预测1]核心素养——逻辑推理、数学运算已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1答案：D
[预测2]新题型——多选题已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有()A．＋1C．＋1答案：ACD
解析：由椭圆＋＝1，可得a＝2，b＝，c＝1.∴左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0).设A(0，)，则tan∠AF1F2＝，可得∠AF1F2＝，∴∠F1AF2＝.∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2的交点M在椭圆的内部．∴＋＜1，A正确；B不正确；直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，可得7y2＋24y＋27＝0无解，因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．
而点M在椭圆的内部，在直线的左下方．∴满足＋＜1，C正确．∵＋＝1，0≤≤1，∴4＋3＝4(1＋)＋3＝4－＞1.因此D正确．故ACD.
状元笔记椭圆中的最值与范围问题[典例1]设P是椭圆＋y2＝1(a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．
【解析】依题意可设P(0，1)，Q(x，y)，则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2).|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)(y－)2－＋1＋a2.因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，则当y＝时，|PQ|取最大值；若1＜a＜，则＜－1，则当y＝－1时，|PQ|取最大值2.
[典例2]设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，求·的取值范围．【解析】易知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0).设P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8).因为x∈[－2，2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.∴PF1·PF2的取值范围为[－2，1].
【探究】最值与取值范围问题的解题思路(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等．
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