新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：7.5　空间向量及其运算

7.5空间向量及其运算第七章2022 内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破 必备知识预案自诊 【知识梳理】1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线共面向量平行于的向量共线向量定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc互相平行或重合同一个平面存在唯一一个实数λ,使a=λb存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 2.空间向量的数量积及空间向量的坐标运算(1)两个非零向量的数量积:①a·b=|a||b|cos,特别地,零向量与任意向量的数量积为0;②若a与b都是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;③设a=(a1,a2,a3), (2)空间向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=向量差a-b=数乘λa=,λ∈R数量积a·b=共线当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a·b=0⇔(a,b均为非零向量)夹角公式(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0 3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α平面,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一. 4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2=0直线l的方向向量为u,平面α的法向量为nl∥α(l⊄α)u⊥n⇔u·n=0l⊥αu∥n⇔∃λ∈R,使得u=λnn1,n2分别是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2=0 常用结论 常用结论 【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.()(3)空间中任意两非零向量a,b共面.()(4)对于空间非零向量a,b,若a·b