6.3等比数列第六章2022
内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破
必备知识预案自诊
【知识梳理】1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比都等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q表示(显然q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项公式为an=;通项公式的推广an=amqn-m.第2项同一个公比a1qn-1(a1≠0,q≠0)
3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,.4.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;a,G,bG2=ab
常用结论设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.
常用结论
【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列.()(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{lnan}是等差数列.()××√×××
答案A
3.(2020全国2,理6)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5答案C
4.若数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an=.答案4n-1解析因为数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.
关键能力学案突破
考点1等比数列的基本运算
答案(1)B(2)2n-1
解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类讨论再求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.
对点训练1(1)(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2(2)(2019全国1,理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=.
考点2等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.
解题心得1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
对点训练2设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明由a1=1及=4an+2,有a1+a2=S2=4a1+2.∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
考点3等比数列的性质及应用(多考向探究)考向1等比数列项的性质及应用(2)(多选)设{an}是等比数列,则下列结论中错误的是()A.若a1=1,a5=4,则a3=-2B.若a1+a3>0,则a2+a4>0C.若a2>a1,则a3>a2D.若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
答案(1)A(2)ABC(2)由等比数列的性质可得=a1·a5=4,由于奇数项的符号相同,可得a3=2,故A不正确;a1+a3>0,则a2+a4=q(a1+a3),其正负由q确定,故B不正确;若a2>a1,则a1(q-1)>0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正负由q确定,故C不正确;若a2>a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,所以1+q2>2q,则a1(1+q2)>2a1q,即a1+a3>2a2,故D正确.故选ABC.
解题心得在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质减少运算量,提高解题速度.注意以下常用性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).
(2)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.
答案(1)B(2)5
考向2等比数列前n项和的性质及应用【例4】(1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.
对点训练4(1)在公比为正数的等比数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.170(2)(多选)下列命题中正确的是()A.若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+tB.若Sn是等差数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列C.若Sn是等比数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列D.若Sn是等比数列{an}的前n项的和,且Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),则A+B为零
答案(1)D(2)BD
(2)对于A,取数列{an}为常数列,对任意m,n,s,t∈N*,都有am+an=as+at,故A错误;对于B,设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d,同理,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d,∴2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列,故B正确;对于C,设an=(-1)n,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0,∴此数列不是等比数列,故C错误;对于D,∵an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)=Aqn-Aqn-1=A(q-1)×qn-1,∴此数列为首项是A(q-1),公比为q的等比数列,
考点4等差、等比数列的综合问题【例5】(1)若公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2,9,a5成等差数列,则S10=()A.2×45-1B.45-1C.2×46-1D.46-1(2)已知在等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=()A.26B.52C.78D.104
答案(1)B(2)B
解题心得等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系,利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时,应“瞄准目标”,灵活应用数列的有关性质,简化运算过程.求解过程中注意合理选择有关公式,正确判断是否需要分类讨论.(2)一定条件下,等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即若{an}为等差数列,则{}(a>0且a≠1)为等比数列;若{an}为正项等比数列,则{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.
对点训练5(1)(2020山东烟台高三模考)在等比数列{an}中,首项a1=1,且4a3,2a4,a5成等差数列,若数列{an}的前n项之积为Tn,则T9=()A.29-1B.236C.210-1D.245(2)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则a8=.
答案(1)B(2)2解析(1)设等比数列{an}公比为q,因为4a3,2a4,a5成等差数列,所以4a4=4a3+a5,即4q=4+q2,解得q=2.故an=2n-1.所以T9=a1·a2·a3·…·a9=20·21·22·…·28=21+2+3+…+8=236.故选B.
本课结束
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