必考部分第十章 统计、统计案例
第二讲 用样本估计总体
1知识梳理·双基自测2考点突破·互动探究3名师讲坛·素养提升
1知识梳理·双基自测
知识点一 用样本的频率分布估计总体分布(1)频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布规律，从中可以看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤为：①_________；②_________________；③_____________；④_______________；⑤___________________.求极差决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图
(2)频率分布折线图顺次连接频率分布直方图中_______________________，就得到频率分布折线图．(3)总体密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能提供更加精细的信息．各小长方形上端的中点
知识点二 茎叶图(1)茎叶图中茎是指_______的一列数，叶是从茎的_______生长出来的数．(2)茎叶图的优点是可以_______原始数据，而且可以_______记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．知识点三 样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．中间旁边保留随时
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．()√×√
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．()(6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．()×√×
题组二 走进教材2．(P81A组T1改编)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()A．95,94B．92,86C．99,86D．95,91B
[解析]由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.
3．(P7T1)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有_____人．25[解析]100×(0.5×0.5)＝25(人)．
题组三 走向高考4．(2020·新课标Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．10[解析]∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1,10x2，…，10xn的方差为：100×0.01＝1，故选C．C
5．(2020·天津)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A．10B．18C．20D．36B
[解析]直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25＋5)×0.02＝0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.225×80＝18个，故选B．
2考点突破·互动探究
考点一频率分布直方图——自主练透组号分组频数频率第1组[160,165)0.100笫2组[165,170)①第3组[170,175)20②第4组[175,180)200.200第5组[180,185)100.100合计1001.00
(ⅰ)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)．(ⅱ)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？(ⅲ)在(ⅱ)的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官A面试，求第4组至少有一名选手被考官A面试的概率．
(2)(2021·福建漳州质检)2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图．
(ⅰ)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失(同一组中的数据用该区间的中点值代表)；(ⅱ)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望．
应用频率分布直方图时的注意事项用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表示频率/组距；(2)频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；(3)频率分布直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1，即频率之和为1.
〔变式训练1〕(1)(2021·安徽“皖南八校”摸底)某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在[80,130](单位：分)内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为______.220
(2)(2021·山西适应性考试)某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的约2～3天，长的约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是()A．12B．13C．14D．15C
[解析](1)根据频率分布直方图知：(2a＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1⇒a＝0.005；计算出数学成绩不低于100分的频率为：(0.03＋0.02＋0.005)×10＝0.55；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为0.55×400＝220人．
考点二茎叶图——师生共研ABD
茎叶图的绘制及应用(1)茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．(2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
〔变式训练2〕(2019·山东)如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x与y的值分别为()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7A
考点三样本数字特征——多维探究B
C
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数，中位数，众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
〔变式训练3〕(1)(角度1)某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为______，平均数为_________.155156.8
(2)(角度2)(2021·陕西西安八校联考)在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分(百分制)茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为()A．8954.5B．8953.5C．8753.5D．8954B
C
考点四折线图——师生共研
A．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天B．这15天日平均温度的极差为15℃C．由折线图能预测16日温度要低于19℃D．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数[答案]BCD
[解析]A选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7,8,9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；B选项，这15天日平均温度的极差为18℃，B错；C选项，由折线图无法预测16日温度是否低于19℃，故C错误；D选项，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D错误．故选B、C、D．
名师点拨折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
BC
[解析]第二次考试甲的成绩比乙低，A错；由图可知甲的成绩比乙的成绩波动小，B正确，D错；甲的平均成绩显然比乙的平均成绩高，C正确；故选B、C．
3名师讲坛·素养提升
(1)通过统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．(2)准确理解频率分布直方图的数据特点是解题关键．
〔变式训练5〕(2019·高考全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解析](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
谢谢观看
微信/支付宝扫码支付