精准备战2022年高考数学（理）一轮复习考点08 对数与对数函数

考点08对数与对数函数【命题趋势】指数函数与对数函数常在一起进行考查，关于函数的其他知识的考查也常以指数函数或对数函数为背景，尤其是对数函数，在复习过程中，我们要做到以下几点：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.【重要考向】一、对数式的化简与求值二、对数函数的图象三、对数函数性质的应用四、对数函数的复合函数问题对数式的化简与求值对数与对数运算1．对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2．对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；试卷第11页，总11页 （3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3．对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).【巧学妙记】（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性．（2）注意利用等式.【典例】试卷第11页，总11页 1.计算：＝.【答案】　1【解析】　原式＝＝＝＝＝＝1.2.已知函数,若,则A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意有，解得.故选D．3.化简：（）；（）．【答案】（1）5；（2）3.【解析】（）．（）试卷第11页，总11页 ．对数函数的图像对数函数及其性质1．对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2．对数函数的图象一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象【巧学妙记】试卷第11页，总11页 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．【典例】4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为(　　)【答案】　C【解析】　先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．5.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．4【答案】　B【解析】　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即方程|log0.5x|＝x的解的个数，即函数y＝|log0.5x|与函数y＝x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．对数函数性质的应用对数函数的性质一般地，对数函数的性质如下表所示：试卷第11页，总11页 图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0【巧学妙记】（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：①形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；②形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解．【典例】6.已知，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．试卷第11页，总11页 【答案】B【解析】∵，，，又∵，且对数函数在上单调递增，.故选B．7.方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为．答案　x＝解析　原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.8.求不等式的解集.【解析】∵，∴原不等式等价于，当>1时，，解得0＜x＜2．当时，，解得2＜x＜4．∴不等式的解集为．对数函数的复合函数问题对数复合函数的解题步骤求形如的复合函数的单调区间，其一般步骤为：试卷第11页，总11页 ①求定义域，即满足的x的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数及；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则为增函数，若一增一减，则为减函数，即“同增异减”.【巧学妙记】与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.【典例】9.若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)【答案】　D【解析】　由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.10.函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为．【答案】　－【解析】　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－试卷第11页，总11页 ，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.11.已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是．【答案】　(1,2]【解析】　当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x