精准备战2022年高考数学（理）一轮复习考点15 三角恒等变换

考点15三角恒等变换【命题趋势】三角函数公式，即同角基本关系式、诱导公式以及两角和与差的三角函数公式常结合三角函数性质一起考查，但也要注意单独考查的求值问题，对此，必须首先掌握公式的熟练应用，具体要求如下：1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【重要考向】一、三角函数式的化简二、三角函数的求值问题三、三角恒等变换的综合应用三角函数式的化简两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：44 （6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，【巧学妙记】（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．【典例】1.化简：sinα+β⋅cosα−12sin2α+β−sinβ.44 【解析】原式=sinα+β⋅cosα−12⋅2cos2α+β+β2sin2α+β−β2=sinα+β⋅cosα−cosα+βsinα=sinα+β−α=sinβ.2.化简（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以原式.故选A．3.已知，则_________.【答案】1【分析】由条件可得，又可得答案.【详解】由，可得则故答案为：1三角函数求值问题三角函数求值问题1．给角求值44 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.【巧学妙记】（1）已知角表示未知角例如：，，，，，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.【典例】4.求cos+cos-2sincos的值;44 【解析】cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.5.（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】.6.在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α，角α+π4的终边经过点P(−2,1).（1）求cosα的值；（2）求cos(5π6−2α)的值.【解析】（1）由于角α+π4的终边经过点P(−2,1)，所以cos(α+π4)=−255，sin(α+π4)=55.∴cosα=cos(α+π4−π4)=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=−1010.（2）sinα=sin(α+π4−π4)=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=31010.则sin2α=2sinαcosα=−35，cos2α=cos2α−sin2α=−45，故cos(5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=43−310.44 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【巧学妙记】在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.【典例】44 7.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求的值.【解析】（1），令，即，则，所以的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∵，∴，∴，故.8.已知，，均为锐角，且.44 （1）求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）由题意得：，，，解得：.（2），，由，可得：，，9.在中，内角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【解析】（1）由已知及正弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，，44 ∴由余弦定理得，∴.由，∵为锐角，∴，则，，故.44 一、单选题1．若点在角的终边上，则（）A．B．C．D．2．已知α满足，则（）A．3B．﹣3C．D．3．已知函数，的一个零点为，一条对称轴是x=，则函数，的值域为（）A．[-1，1]B．[-1，5].C．[-1，2+2].D．[-5，1]4．已知为锐角，，则（）A．B．C．D．二、多选题5．下列各式计算正确的有（）A．B．C．D．三、填空题6．的值为_________7．计算：____________.8．已知，若f(x)在[]上单调递增，则ω的取值范围为__________________．44 9．已知：，则的最大值是___________.四、解答题10．已知函数.（1）求函数的对称中心；（2）若，求.11．求函数的值域.12．在中，线段是的角平分线，且（1）求.（2）若求的值.13．所对的内角所对的边分别为，，（1）求的值；（2）若，求的面积一、单选题1．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（）44 A．0B．1C．2D．32．（2012·湖南高考真题（理））函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为A．[-2,2]B．[-,]C．[-1,1]D．[-,]3．（2016·山东高考真题（理））函数的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π4．（2011·全国高考真题（理））设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增5．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．26．（2009·安徽高考真题（理））已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是A．B．C．D．7．（2007·广东高考真题（理））若函数，则f(x)是A．最小正周期为的奇函数；B．最小正周期为的奇函数；C．最小正周期为2的偶函数；D．最小正周期为的偶函数；二、填空题8．（2020·江苏高考真题）已知=，则的值是____.9．（2019·北京高考真题（理））函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．44 三、双空题10．（2020·浙江高考真题）已知，则________；______．四、解答题11．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．12．（2013·江西高考真题（理））在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．13．（2010·湖北高考真题（理））已知函数f(x)=（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．14．（2011·北京高考真题（理））已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.44 一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）函数的导数（）A．B．C．D．二、多选题2．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）已知函数，下列结论正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．在上单调递增C．当时，的最小值是D．将的图象所有点的横坐标缩小到原来的一半，然后向左平移个单位，得到的图象的解析式为三、双空题3．（2021·浙江金华市·高三三模）已知函数，则函数f(x)的最小值为___________.若，，则的值为___________.四、填空题44 4．（2021·全国高一专题练习）若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角且α