专题7.5 数列的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版

专题7.5数列的综合应用新课程考试要求1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式2.数列与函数、不等式相结合.3.复习中注意:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；（3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】知识点一．等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义＝常数＝常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：⇔为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数,)⇔为等差数列；(5)为等比数列，且，那(1)定义法(2)中项公式法：()⇔为等比数列(3)通项公式法：(均是不为0的常数，)⇔为等比数列(4)为等差数列⇔(总有意义)为等比数列 么数列(，且)为等差数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)(3)等比数列依次每项和()，即，…仍成等比数列前n项和时，；当时，或.知识点二．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，. 【考点分类剖析】考点一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（2021·全国高三月考（文））已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.（1）求数列，的通项公式；（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.【典例2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【总结提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【变式探究】1.（浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A．B．C．D．2.（2017·全国高考真题（文））已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，且a1=1，b1=1，a2+b2=4.（1）若a3+b3=7，求bn的通项公式； （2）若T3=13，求S5.【易错提醒】1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．2.应用错位相减法求和时需注意：（1）给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.考点二数列与函数的综合【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【典例4】（2020·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，．（1）求数列的通项公式．（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记求的值，并指出相应的取值范围．【总结提升】数列与函数的综合问题主要有以下两类：①知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【变式探究】 1.（2021·高三三模）已知函数，其中，定义数列如下：，，（1）当时，求的值；（2）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得.2.（四川高考真题）设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=-2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-1ln2，求数列{anbn}的前n项和Tn.考点三数列与不等式的综合【典例5】（2021·宁波中学高三其他模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，，求证：.【典例6】（2020届浙江省台州五校高三上学期联考）已知函数f(x)=44x+15.（Ⅰ）求方程f(x)-x=0的实数解；（Ⅱ）如果数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)（n∈N*），是否存在实数c，使得a2n