专题8.8立体几何综合问题新课程考试要求1.会解决简单的立体几何问题.2．会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题.3．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）立体几何中的动态问题.（2）立体几何中的探索性问题.（3）平面图形的翻折问题.（4）立体几何与传统文化（5）立体几何新定义问题（6）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.
【考点分类剖析】考点一：立体几何中的动态问题【典例1】（2021·福建高二期末）在棱长为1的正方体中，点，分别足，，其中，，则（）
A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，点，到平面的距离相等C．当时，存在使得平面
D．当时，【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为()
A．B．C．D．【总结提升】1.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．
2．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．【变式探究】1.（2020·河北新华·高三月考（理））如图，正方体中，P
为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分2．【多选题】
（2021·高三月考）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为，则下列选项中说法正确的是（）A．当时，B．当在区间内变化时，先增大后减小
C．不存在最大值D．当在区间内变化时，逐渐减小考点二：立体几何中的探索性问题【典例3】（2021·广东高二期末）如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．
【典例4】（2020·全国）如图，是的直径，点B是上与A，C不重合的动点，平面.（1）当点B在什么位置时，平面平面，并证明之；
（2）请判断，当点B在上运动时，会不会使得，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.【典例5】（2020·全国高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）.【规律方法】
求解立体几何中探索问题的策略1．条件探索性问题(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．如本例(2)先根据题意猜测点的位置．再结合证明．一般探索点存在问题，点多为中点或三等分点中的一个．
2．结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．【变式探究】
1．（2020·四川高二开学考试（理））如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.
2．（2021·高三月考）已知在四棱锥中，平面平面，且是正方形.若.（1）求四棱锥的体积；
（2）在线段上是否存在一点满足：二面角的余弦值为？若存在，请求出的比值.若不存在，请说明理由.3．（2020·浦东新·上海师大附中高二期中）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.
（1）求与平面所成角的正切值；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.【总结提升】与空间角有关的探索性问题的解题策略
与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题，常利用空间向量法求解．求解时，一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量，利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．
考点三：平面图形的折叠问题【典例6】【多选题】（2021·广东高二期末）如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．
则下列结论中正确的是（）A．B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为【典例7】（2021·江苏高二期中）已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体.
（1）求证：平面平面；（2）求点F到平面ABE的距离；
（3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.【特别提醒】解决空间图形的翻折问题时，要从如下几个角度掌握变化规律：
注意：掌握翻折过程中的特殊位置①翻折的起始位置；②翻折过程中，直线和平面的平行和垂直的特殊位置.
【变式探究】1．（2021·贵州高三三模（文））如图，在中，，，是棱的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）
A．B．C．D．2．（2021·高三月考）如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且，，将所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的正投影E
在线段BD上，如图2.（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）已知O为AB中点，在线段CE上是否存在点F，使得平面ACD？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.考点四：立体几何与传统文化【典例8】（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A．20°B．40°
C．50°D．90°【总结提升】近几年高考命题关于这部分内容的考查，主要是以传统文化、数学文化、现代生活为背景，考查立体几何的基础知识，涉及三视图、面积体积计算、几何体的几何特征等.
【变式探究】（2021·全国高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点、距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面(包括边界)上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为______；若是的中点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______.
阿波罗尼奥斯考点五：立体几何中的新定义问题【典例9】
（2021·全国高三零模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．
（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．【总结提升】精读题干，理解新定义是解题的关键.
【变式探究】（2021·全国高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，点P为底面A1B1C1D1内的一个动点，则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β
中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
微信/支付宝扫码支付