专题4.2 应用导数研究函数的单调性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版

专题4.2应用导数研究函数的单调性新课程考试要求1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例4.5）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．【知识清单】1．利用导数研究函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．【考点分类剖析】考点一：判断或证明函数的单调性【典例1】（2020·辽宁高三期中）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）若时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系，分类讨论即可求出；（2）对求导得，由在区间上是增函数，可得时，恒成立，令，，利用导数求出的最小值，即可求得的取值范围.【详解】 解：（1）函数的定义域为，，①若时，，此时函数在上单调递增；②若时，令，可得，，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2），若函数在区间上是增函数，又当时，恒成立，令，，则，令，有，可得函数的增区间为，减区间为，所以，有，故实数的取值范围为.【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】(1)由函数的解析式可得：，则： ，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【规律方法】1．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)0（或f'(x)