专题3.1 函数的概念及其表示 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析版
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专题3.1 函数的概念及其表示 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析版

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资料简介
专题3.1函数的概念及其表示新课程考试要求1.了解函数的概念,会求简单的函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.3.了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.核心素养培养学生数学抽象(例1.3)、数学运算(例2--12)、数学建模(例9)、直观想象(例5.10)等核心数学素养.考向预测1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念,更要掌握基本初等函数的图象和性质.2.函数的概念,经常与函数的图象和性质结合考查.【知识清单】1.函数的概念函数两个集合A,B设A,B是两个非空数集对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2.函数的定义域、值域(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.3.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.【考点分类剖析】考点一函数的概念【典例1】【多选题】(2021·浙江高一期末)在下列四组函数中,与不表示同一函数的是()A.,B., C.,D.,【答案】ACD【解析】根据同一函数的要求,两个函数的定义域和对应法则应相同,对四个选项中的两个函数分别进行判断,得到答案.【详解】A选项,定义域为,的定义域为,所以二者不是同一函数,故A符合题意;B选项,,与定义域相同,对应法则也相同,所以二者是同一函数,故B不符合题意;C选项,定义域为,的定义域为,所以二者不是同一函数,故C符合题意;D选项,定义域为,的定义域为,所以二者不是同一函数,故D符合题意;故选:ACD.【规律方法】函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同.因此判断两个函数是否相同,只需判断定义域、对应关系是否分别相同.【变式探究】(2021·浙江高一期末)下列函数中,与函数是相等函数的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同,二者皆相同即为同一函数,由此得到结果.【详解】的定义域为;对于A,定义域为,与定义域不同,不是同一函数,A错误; 对于B,,与定义域相同,解析式相同,是同一函数,B正确;对于C,定义域为,与定义域不同,不是同一函数,C错误;对于D,,与解析式不同,不是同一函数,D错误.故选:B.【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数,注意把握两点,一看定义域是否相等,二看对应法则是否相同.2.从图象看,直线x=a与图象最多有一个交点.考点二:求函数的定义域【典例2】(2019·江苏高考真题)函数的定义域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得,故函数的定义域为.【典例3】(2021·全国高一课时练习)(1)已知的定义域为,求函数的定义域;(2)已知的定义域为,求的定义域;(3)已知函数的定义域为,求函数的定义域.【答案】(1);(2);(3).【解析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】(1)∵中的的范围与中的x的取值范围相同.∴, ∴,即的定义域为.(2)由题意知中的,∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同,∴的定义域为.(3)∵函数的定义域为,由,得,∴的定义域为.又,即,∴函数的定义域为.【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.【变式探究】1.函数的定义域为(  )A.B.C.D.【答案】C【解析】 故答案选C2.(2020·河南省高二期中(文))已知函数定义域是,则的定义域是()A.[0,]B.C.D.【答案】A【解析】因为函数定义域是所以所以,解得:故函数的定义域是[0,]故选:A【特别提醒】求函数的定义域,往往要解不等式或不等式组,因此,要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质,学会利用数形结合思想,借助数轴解题.另外,函数的定义域、值域都是集合,要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达.高频考点三:求函数的解析式【典例4】(2021·全国高一课时练习)已知f=x2+,则函数f(x)=_______,f(3)=_______.【答案】11【解析】利用换元法可求出,进一步可得.【详解】 令,则,所以,所以,所以.故答案为:;.【典例5】(2021·全国高三专题练习)如图所示,函数的图象是折线段ABC,其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4),求函数的解析式.【答案】【解析】根据图象分段求出解析式,再写成分段的形式即可得解.【详解】设线段所对应的函数解析式为,将与代入,得,得,所以,同理,线段所对应的函数解析式为,所以.【规律方法】1.已知函数类型,用待定系数法求解析式.2.已知函数图象,用待定系数法求解析式,如果图象是分段的,要用分段函数表示. 3.已知求,或已知求,用代入法、换元法或配凑法.4.若与或满足某个等式,可构造另一个等式,通过解方程组求解.5.应用题求解析式可用待定系数法求解.【变式探究】1.已知单调函数f(x),对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6,则f(2)=()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】设t=f(x)-2x,则ft=6,且fx=2x+t,令x=t,则ft=2t+t=3t=6,解得t=2,∴fx=2x+2,∴f2=2×2+2=6.故选C.2.(2021·全国高一课时练习)已知二次函数满足,.(1)求的解析式.(2)求在上的最大值.【答案】(1);(2)3.【解析】(1)设,,代入求解,化简求解系数.(2)将二次函数配成顶点式,分析其单调性,即可求出其最值.【详解】(1)设,,则,∴由题,恒成立∴,,得,,,∴. (2)由(1)可得,所以在单调递减,在单调递增,且,∴.考点四:求函数的值域 【典例6】函数的值域为()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时,,(当且仅当,即时取等号),的值域为.故选:.【典例7】【多选题】(2021·全国高三专题练习)已知函数的定义域为,值域为,则()A.函数的定义域为B.函数的值域为C.函数的定义域和值域都是D.函数的定义域和值域都是【答案】BC【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A,根据值域为,即可判断选项B,令,求得范围即为定义域,由可得值域,即可判断选项C,由的值域为可得,但无法判断定义域,可判断选项D,进而可得正确选项.【详解】 对于选项A:令可得,所以函数的定义域为,故选项A不正确;对于选项B:因为值域为,,所以的值域为,可得函数的值域为,故选项B正确;对于选项C:令,因为可得恒成立,所以函数的定义域为,因为,所以函数的值域为,故选项C正确;对于选项D:若函数的值域是,则,此时无法判断其定义域是否为,故选项D不正确,故选:BC【典例8】(2021·浙江高一期末)函数的定义域是_________,函数的值域为__________.【答案】【解析】①由解不等式,即可求出定义域;②利用换元法,令,,将原函数转化为关于的二次函数,求值域即可.【详解】①由,得,解得,故函数的定义域是.②令,,则,所以原函数可化为,其对称轴为,所以函数在上单调递增,所以,所以函数的值域为.故答案为:①;② 【规律方法】函数值域的常见求法:(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题,均可使用配方法.(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数与形结合的方法.(3)基本不等式法:要注意条件“一正,二定,三相等”.(可见上一专题)(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若单调函数在端点处有定义,则该函数在端点处取最值,即若y=f(x)在[a,b]上单调递增,则y最小=f(a),y最大=f(b);若y=f(x)在[a,b]上单调递减,则y最小=f(b),y最大=f(a).②形如y=ax+b+的函数,若ad>0,则用单调性求值域;若ad<0,则用换元法.③形如y=x+(k>0)的函数,若不能用基本不等式,则可考虑用函数的单调性,当x>0时,函数y=x+(k>0)的单调减区间为(0,],单调增区间为[,+∞).一般地,把函数y=x+(k>0,x>0)叫做对勾函数,其图象的转折点为(,2),至于x<0的情况,可根据函数的奇偶性解决.*(5)导数法利用导函数求出最值,从而确定值域.高频考点五:分段函数及其应用【典例9】(2021·河南新乡市·高三月考(理))如图,在正方形中,点从点出发,沿向,以每个单位的速度在正方形的边上运动;点从点出发,沿方向,以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发,运动时间为(单位:秒),的面积为(规定共线时其面积为零,则点第一次到达点时,的图象为() A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意,分别求出当,,,对应的函数解析式,进而得答案.【详解】根据题意,当,的面积为;当,的面积为;当,的面积为;当,的面积为;所以所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.故选:A.【典例10】(2021·四川达州市·高三二模(理))已知函数若,则的取值范围是__________.【答案】【解析】设,且,结合图象有,从而得到 求解.【详解】函数的图象如图所示:设,且,则,所以,,,令,则,其对称轴为,所以在上递增,在上递增,所以,,所以的取值范围是, 故答案为:【典例11】(2021·全国高一课时练习)对于任意的实数,表示中较小的那个数,若,,则集合_______;的最大值是_______.【答案】1【解析】作出函数的图象,解出方程可得,由图可得,然后可得其最大值.【详解】函数的图象如下,令,即解得或则集合 由题意及图象得由图象知,当时,最大,最大值是1.故答案为:,1【典例12】(江苏高考真题)已知实数,函数,若,则a的值为________【答案】【解析】分当时和当时两种分别讨论求解方程,可得答案.【详解】当时,,所以,解得,不满足,舍去;当时,,所以解得,满足.故答案为:.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则;2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.(2021·全国高一课时练习)已知a>,则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是()A.a2+1B.a+C.a-D.a-【答案】D【解析】先化简函数的解析式得再分类讨论,求出每一段的最小值,即得函数的最小值. 【详解】函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时,函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-,函数在[a,+∞)上单调递增,其最小值为a2;当x0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.故选:D2.(2021·全国高一课时练习)已知函数f(x)则f(1)=_______,若f(f(0))=a,则实数a=_______.【答案】5【解析】结合函数由内到外逐层计算,可得出关于的等式,进而可解得实数的值.【详解】,,所以,解得 故答案为:5,

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