专题3.1函数的概念及其表示新课程考试要求1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.核心素养培养学生数学抽象（例1.3）、数学运算（例2--12）、数学建模（例9）、直观想象（例5.10）等核心数学素养.考向预测1.分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.【知识清单】1．函数的概念函数两个集合A，B设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【考点分类剖析】考点一函数的概念【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（）A．，B．，
C．，D．，【答案】ACD【解析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.【详解】A选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故A符合题意；B选项，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；C选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故C符合题意；D选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故D符合题意；故选：ACD.【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【变式探究】（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.【详解】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.考点二：求函数的定义域【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为.【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】利用抽象函数的定义域求解.【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，
∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．【变式探究】1.函数的定义域为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】
故答案选C2．（2020·河南省高二期中（文））已知函数定义域是，则的定义域是（）A．[0,]B．C．D．【答案】A【解析】因为函数定义域是所以所以，解得：故函数的定义域是[0,]故选：A【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．高频考点三：求函数的解析式【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．【答案】11【解析】利用换元法可求出，进一步可得.【详解】
令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．【答案】【解析】根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解.【详解】设线段所对应的函数解析式为，将与代入，得，得，所以，同理，线段所对应的函数解析式为，所以.【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．5.应用题求解析式可用待定系数法求解．【变式探究】1.已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)-2x]=6，则f(2)=()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】设t=f(x)-2x，则ft=6，且fx=2x+t，令x=t，则ft=2t+t=3t=6，解得t=2，∴fx=2x+2，∴f2=2×2+2=6．故选C．2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数满足，．（1）求的解析式．（2）求在上的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】（1）设，，则，∴由题，恒成立∴，，得，，，∴.
（2）由（1）可得，所以在单调递减，在单调递增，且，∴.考点四：求函数的值域
【典例6】函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，（当且仅当，即时取等号），的值域为.故选：.【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是【答案】BC【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】
对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，故选项A不正确；对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，故选：BC【典例8】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．【答案】【解析】①由解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令，，将原函数转化为关于的二次函数，求值域即可.【详解】①由，得，解得，故函数的定义域是.②令，，则，所以原函数可化为，其对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，所以函数的值域为.故答案为：①；②
【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．③形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋(k＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（）
A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，分别求出当,，，对应的函数解析式，进而得答案.【详解】根据题意，当,的面积为；当,的面积为；当,的面积为；当,的面积为；所以所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.故选:A.【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设，且，结合图象有，从而得到
求解.【详解】函数的图象如图所示：设，且，则，所以，，，令，则，其对称轴为，所以在上递增，在上递增，所以，，所以的取值范围是，
故答案为：【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.【答案】1【解析】作出函数的图象，解出方程可得，由图可得，然后可得其最大值.【详解】函数的图象如下，令，即解得或则集合
由题意及图象得由图象知，当时，最大，最大值是1.故答案为：，1【典例12】（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________【答案】【解析】分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.【详解】当时，，所以，解得，不满足，舍去；当时，，所以解得，满足.故答案为：.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a2+1B．a+C．a-D．a-【答案】D【解析】先化简函数的解析式得再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值.
【详解】函数f(x)=x2+|x-a|=当x≥a>时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；当x0.所以a2>a-.所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.故选：D2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.【答案】5【解析】结合函数由内到外逐层计算，可得出关于的等式，进而可解得实数的值．【详解】，，所以，解得
故答案为：5，
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