2022年高考数学一轮复习讲练测5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（新高考讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第五章平面向量、复数专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示（讲）【考试要求】1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3．掌握平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算.【高考预测】（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算；（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查平面向量基本定理等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．(4)理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；(5)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识与素养】1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】（2021·福建龙岩市·高一期末）设是平面内两个不共线的向量，则向量可作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】逐项判断向量是否共线，若不共线，则可以作为基底16/16 【详解】解：对于A，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以A不合题意；对于B，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以B不合题意；对于C，若共线，则存在唯一实数，使，即，所以且，所以不存在，所以不共线，所以可以作为基底，所以C符合题意；对于D，因为，所以共线，所以不能作为基底，所以D不合题意，故选：C2．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)若，则．3．平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.【典例2】．（2021·北京首都师大二附高一期末）在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（）A．B．C．D．116/16 【答案】D【解析】由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果.【详解】由A，B坐标知，，则故选：D3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.【典例3】（2021·江苏省镇江第一中学高一期中）设向量，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用向量的坐标运算求出，再根据向量平行的坐标表示即可求出．【详解】向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），所以（1+λ，1﹣3λ），又（）∥，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ.故选：D16/16 【重点难点突破】考点一：平面向量基本定理及其应用【典例4】（2021·江西赣州市·高一期末）在边长为1的正方形中，为上靠近的三等分点，为的中点.若()，则（）A．0B．C．2D．【答案】C【解析】以为基底表示出，由此求得，进而求得.【详解】，所以.故选：C【典例5】（2017·全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,易得圆的半径r=25，即圆C的方程是x−22+y2=45，AP=x,y−1,AB=0,−1,AD=2,0，若满足AP=λAB+μAD，16/16 则x=2μy−1=−λ，μ=x2,λ=1−y，所以λ+μ=x2−y+1，设z=x2−y+1，即x2−y+1−z=0，点Px,y在圆x−22+y2=45上，所以圆心(2,0)到直线x2−y+1−z=0的距离d≤r，即2−z14+1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A.【典例6】（2021·天津滨海新区·高一期末）已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件，t+(1-t)=1，可知：若起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.【详解】如图，，，则，则，因为，其中t+(1-t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值.故选：C.【总结提升】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量16/16 都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【变式探究】1.（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）在△中，为边上的中线，为的中点，则()A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.16/16 2.（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即，故选：A．3．（2021·全国高三其他模拟（理））在平行四边形中，点为边的中点，，则________．【答案】【解析】找一组基向量分别表示出，再用待定系数法即可求得．【详解】，16/16 又因为，所以，解得所以．故答案为：【易错提醒】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点二：平面向量的坐标运算【典例7】（2021·江西南昌市·高一期末）已知，则与同方向的单位向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设所求单位向量为，根据，且即可求出得值，进而可得单位向量的坐标.【详解】设与同方向的单位向量为，则，即，由可得：，解得：，因为，所以，所以，所以与同方向的单位向量是，故选：A.【典例8】（2020·天津滨海新·高三月考）如图，，点由射线、线段及16/16 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：若取，则，点在阴影区域内，A正确；若取，则，点在直线的上方，B错误；若取，则，点在直线的下方，C错误；若取，则，点在射线上，D错误，故选：A.【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【变式探究】1．（2019·吉林高考模拟（理））已知向量a=(cosθ−2,sinθ)，其中θ∈R，则a的最小值为（）A．1B．2C．5D．3【答案】A16/16 【解析】因为a=(cosθ−2,sinθ)，所以a=(cosθ−2)2+sin2θ=1−4cosθ+4=5−4cosθ，因为θ∈R，所以−1≤cosθ≤1，故a的最小值为5−4=1.故选A2．（2020·上海高二课时练习）已知三点共线，则，则______，______．【答案】3【解析】由，可得，因为，即，可得，解得.故答案为：，.考点三：平面向量共线的坐标表示【典例9】（2018·全国高考真题（文））已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】由题可得,即16/16 故答案为【典例10】（2020·桂阳县第二中学期中）已知、、，，.（1）求点、及向量的坐标；（2）求证：.【答案】（1），，（2）证明见解析【解析】（1）设点，即，解得：，故设点，即，解得，故（2），，故【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．【变式探究】1．（2021·江苏省镇江第一中学高一期中）设向量，，，且，则16/16 （）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用向量的坐标运算求出，再根据向量平行的坐标表示即可求出．【详解】向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），所以（1+λ，1﹣3λ），又（）∥，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ.故选：D2.（2022·河南高三月考（文））已知向量，，若，则实数___________.【答案】0【解析】首先求出，.的坐标，再根据向量平行的坐标表示计算可得；【详解】解：，，，.又，，.故答案为：考点四：平面向量的模的问题 【典例11】（2019·全国高考真题（文））已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=（）16/16 A．B．2C．5D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故选A【典例12】（2021·全国高一课时练习）如图，在边长为1的正六边形中，是其中心，.设，.（1）用分别表示及；（2）求；【答案】（1），；（2）【解析】(1)根据向量的加法原则即可求解.(2)根据第（1）问，先平方再在开根号即可;(3)根据数量积的公式即可求解.【详解】解：(1)根据正六边形的特征，可得，.16/16 (2).【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．【变式探究】1．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A．B．C．D．5【答案】A【解析】设，，，则，从而，等号可取到．故选：A2.（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】7【解析】以为轴的正方向建立直角坐标系，设，然后表示出16/16 ，然后可得答案.【详解】以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当时取得最小值7故答案为：7【学科素养提升】转化与化归思想在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．(2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而达到求体积的目的．(3)空间问题往往转化成平面问题解决.【典例】（2021·全国高一专题练习）已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4).设，且.（1）求；（2）求满足的实数m，n；16/16 （3）求M，N的坐标及向量的坐标.【答案】（1）(6，-42)；（2）；（3）M(0，20)，N(9，2)，.【解析】（1）利用向量加、减、数乘的坐标运算即可求解.（2）利用向量加法的坐标运算以及向量相等即可求解.（3）利用向量减法的坐标运算即可求解.【详解】由已知得=(5，-5)，=(-6，-3)，=(1，8).（1）=3(5，-5)+(-6，-3)-3(1，8)=(15-6-3，-15-3-24)=(6，-42).（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，∴，解得.（3）设O为坐标原点，∵，∴=(3，24)+(-3，-4)=(0，20).∴M(0，20).又∵，∴=(12，6)+(-3，-4)=(9，2)，∴N(9，2)，∴=(9，-18).16/16