2022年高考数学一轮复习讲练测4.7 解三角形及其应用举例（新高考）（讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.7解三角形及其应用举例（讲）【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理及其应用【高考预测】（1）测量距离问题；（2测量高度问题；（3）测量角度问题.（4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意.从浙江卷来看，本节是高考中的一个“冷考点”．三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形、正方形等，考查边角及面积的计算，与平面向量、解析几何、立体几何等结合考查，也有与导数结合考查的情况.【知识与素养】知识点1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．　　　(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．18/18 ②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．【典例1】（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则两点的距离为______.【答案】【解析】根据题意，求得各个角度，即可得CD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故答案为：18/18 【总结提升】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．【重点难点突破】考点1与平面向量、解析几何、立体几何结合【典例2】（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【典例3】（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C18/18 两点到水平面的高度差约为（）（）A．346B．373C．446D．473【答案】B【解析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，18/18 而，所以，所以．故选：B．【典例4】（2020·江苏高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】或0【解析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，18/18 设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【变式探究】1.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.【答案】25【解析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，18/18 则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为：25.2.（2021·浙江高二期末）已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为_______．【答案】【解析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为，所以，，即，所以，.，解得.，所以，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，所以，.故答案为：.3.（高考真题）如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东15°方向200km的海面P处，并以10km/h的速度向北偏西75°18/18 方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km，并以20km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h）？【答案】4.1小时．【解析】根据题意可设t小时后台风中心到达A点，该城市开始受到台风侵袭，如图ΔPAO中，PO=200，PA=10t，AO=100+20t，∠APO=75°−15°=60°，由余弦定理得，100+20t2=100t2+40000−2×10t×200×cos60°，化简得t2+20t−100=0，解得t=102−1≈4.1.答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.考点2测量距离问题【典例5】（四川高考真题）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67∘，30∘，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67∘≈0.92，cos67∘≈0.39，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，3≈1.73）【答案】6018/18 【解析】AC=92，AB=46cos67∘，ABsin30∘=BCsin37∘,∴BC=ABsin37∘sin30∘≈60.【总结提升】测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【变式探究】（2021·高三其他模拟（文））“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（）组①和；②和；③和A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出.【详解】由，，∴可求出、，18/18 ①和：△中，即可求；②和：可求、，则在△中求；③和：可求，则在△中，即可求；∴①②③都可以求.故选：D考点3测量高度问题【典例6】（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高B．表高C．表距D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：18/18 由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.【总结提升】求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【变式探究】（全国高考真题）如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．【答案】150【解析】18/18 在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案为150．考点4测量角度问题【典例7】（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））一张台球桌形状是边长为的正六边形，已知一个小球从边的中点击出后，击中边上某点，之后依次碰击，，，各边，最后击中边上的点，且，设，则___________.【答案】【解析】根据入射角等于反射角的原理可作出图形，过作直线的垂线，垂足为，由图形计算得到，知，由此得到结果.【详解】如图所示，由入射角等于反射角原理知：分别顺次以正六边形的，，，，边为对称轴作次对称变换后可知，小球的运行轨迹即为线段，过作直线的垂线，垂足为，正六边形边长为，，18/18 ，.故答案为：.【总结提升】1.解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．2．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【变式探究】某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则__________．【答案】【解析】设船行驶至，则，连接，过作于，则，,18/18 ,，所以，所以，又，，可得，所以，故.考点5应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例8】（2021·浙江高三期末）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径．一种从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，，，为钝角．（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）索道的长为；（2）乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最短；（3）.18/18 【解析】（1）利用正弦定理可求得索道的长；（2）求出的值，设乙出发后，甲、乙之间的距离为，根据题意可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得结果；（3）设乙步行的速度为，根据已知条件可得，可解得的取值范围，即为所求.【详解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故索道的长为；（2）因为为钝角，则为锐角，所以，，，所以，，设乙出发后，甲、乙之间的距离为，由题意可得，则，所以，当时，取最小值，因此，当乙出发后，乙在缆车上与甲的距离最近；（3）为锐角，，由正弦定理可得，乙从出发时，甲已经走了，18/18 还需走才能到达，设乙步行的速度为，则，解得，所以，为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内.【规律方法】利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【变式探究】（2021·浙江高一期末）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为．（1）求出山高；（2）如图，当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为．试问当x多大时，观测基站的视角最大？参考数据：【答案】（1）151.5米；（2）．【解析】（1）在直角三角形中由正切的定义得出的方程，解之可得；（2）视角为锐角，求出的最大值即可得，利用两角差的正切公式可把表示为的函数，然后结合基本不等式可得最大值．【详解】18/18 （1）设，则，即，，所以，所以，，山高（米）；（2）显然视角为锐角，由已知，，，当且仅当，即时，最大，即视角最大．【学科素养提升】转化与化归思想在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．(2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而达到求体积的目的．(3)空间问题往往转化成平面问题解决.【典例】（2021·浙江高三期末）要测量电视塔的高度，在C点测得塔顶的仰角是，在D点测得塔顶的仰角是，并测得水平面上的，，则电视塔的高度是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】18/18 设，可得，，然后在中利用余弦定理可求得的值，由此可求得电视塔的高度.【详解】由题意，设，由于平面，、平面，，，由题意可得，，在中，，，同理可得，在中，，，根据余弦定理，得，即：，整理得，解之得或（舍）即所求电视塔的高度为米．故选：D.18/18