2022年高考数学一轮复习讲练测5.3 平面向量的数量积及应用（新高考）（讲）原卷版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第五章平面向量、复数专题5.3平面向量的数量积及应用（讲）【考试要求】1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.3．掌握平面向量数量积的坐标运算.【高考预测】（1）以考查数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以上；（2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少.（3）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；（4）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.【知识与素养】知识点1．两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点2．平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．6/6 知识点3．数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．知识点4．向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.【典例1】（2020·天津高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．知识点5．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝.4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)【典例2】（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．【重点难点突破】考点一：平面向量数量积的运算【典例3】．（2021·浙江高考真题）已知平面向量满足6/6 .记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.【典例4】（2019·天津高考真题（理））在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.【规律方法】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式探究】1．（2020届浙江绍兴市柯桥区高三上期末）已知正三角形的边长为4，是平面内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.2.（2020届浙江省杭州市高三上期末（一模)）在平面凸四边形中，，点，分别是边，的中点，且，若，则______.【总结提升】②知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．考点二：平面向量的夹角问题【典例5】（2020·全国高考真题（理））已知向量，满足，，，则（）A．B．C．D．【典例6】（2020·江苏镇江市·高一月考）已知向量，则与有夹角为__________．【总结提升】6/6 向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝.提醒：〈a，b〉∈[0，π]．【变式探究】1.（2020·陕西西安市·高三月考（文））若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（）A．B．C．D．2．（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）已知，是不共线的两个向量，若对任意的，的最小值为1，的最小值为1，若，则，所成角的余弦值为______.考点三：平面向量的模的问题 【典例7】（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知，，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A．B．C．D．5【典例8】（2019·浙江高考真题）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．6/6 【变式探究】1．（2020·浙江高三）已知，则的取值范围是（　　）A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]2.（2021·四川成都市·树德中学高一月考）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.考点四：平面向量垂直的条件 【典例9】（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．【典例10】（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB⋅CD=0，则点A的横坐标为________．【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【变式探究】1．（2020·长沙市·高一月考）已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（）A．B．C．D．2．（2020·全国高二课时练习）已知，则λ＝________．【学科素养提升】转化与化归思想6/6 在解决具体问题时，常把复杂的、生蔬的、抽象的、困难的、未知的问题化成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种数学思想叫转化与化归的思想．(1)“化曲为直”是解决立体几何问题最基本和最常用的方法，解决的关键是在空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系．几何体表面上两点间的最小距离问题常常转化为求其展开图中的直线段长．(2)体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，但转化与化归的思想一直贯穿其中．①将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题；②三棱锥通过转化底面和顶点从而达到求体积的目的．(3)空间问题往往转化成平面问题解决.【典例】（2021·江西新余市·高一期末（理））已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为___________.6/6