2022年高考数学一轮复习讲练测4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（新高考讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（讲）【考试要求】了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.【高考预测】（1）函数图象的变换；（2）三角函数模型的应用问题.（3）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质．（4）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.【知识与素养】知识点1．求三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：－【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.25/25 【答案】【解析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图象;把函数向右平移个单位，得到函数的图象;把函数向上平移个单位，得到函数的图象;25/25 把函数向下平移个单位，得到函数的图象.伸缩变换:把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.【典例2】（2021·北京石景山区·高一期末）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位25/25 C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】根据函数变换前后的解析式，结合左加右减、上加下减的原则，即可判断平移过程.【详解】，∴将函数的图像向右平移个单位，可得.故选：B知识点3．函数的图象与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.【典例3】（2021·全国高一课时练习）一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：25/25 （1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式可得．【详解】（1）设，由题意得：，，；则，当时，，即；因此，；因此，，；（2）由题意：，即：；则：；又因为，所以．【重点难点突破】考点一求三角函数解析式【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．25/25 【答案】2【解析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.25/25 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【规律方法】1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.【变式探究】25/25 （2020·江苏南通�高三其他）已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式________.【答案】【解析】因为函数的最小正周期是，所以函数的图象向右平移个单位长度后得到，因为关于原点对称，所以因此故答案为：【总结提升】根据函数的图象确定函数中的参数的主要方法：（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）主要由最小正周期确定，而的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）主要是由图象的特殊点的坐标确定．考点二三角函数图象的变换【典例5】（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的25/25 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，25/25 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．【变式探究】（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为B．f(x)在区间上单调递减25/25 C．f(x)的图象关于直线x＝对称D．f(x)的图象关于点成中心对称【答案】D【解析】根据函数图象求出解析式，再根据平移伸缩变换求出的解析式，然后根据的解析式逐项判断即可.【详解】根据g(x)的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，故g(x)＝2sin（2x+）．由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，可得f(x)＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的图象，故f(x)的最小正周期为，故A错误；在区间上，3x﹣∈[0，]，f(x)没有单调性，故B错误；令x＝，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（，0）对称，故D正确，故选：D．【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的．2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及φ．25/25 3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ．考点三三角函数模型的应用【典例6】8．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：【答案】（1）作图见解析，；（2）该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.【解析】（1）由所给数据描点成图即可，可利用图象所过最高点求出即可；（2）由题意知货船需要的安全水深为米，解即可求解.【详解】（1）25/25 由图象可知，，则有又因为时取最大值6.5，可得，所以（2）货船需要的安全水深为米，所以当时就可以进港.令，得得，即，当时，；当时，，所以，该船在2：00或14：00点可以进入港口，在港口可以停留2个小时.【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．【变式探究】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻25/25 的水深数据的近似值如下表：036912151821241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从①，②，③中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1)选②做为函数模型，;(2)这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②做为函数模型，25/25 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：令，即又∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.考点四函数的图象与性质的综合应用 【典例7】（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.25/25 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．【典例8】（2020·上海高三专题练习）函数的最大值是____，最小值是_________.【答案】【解析】即，故答案为：；【规律方法】1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．25/25 4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．【典例9】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由，得或，，．在的零点个数是3，故选B．【典例10】（2021·浙江高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】25/25 （1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.【典例11】（2017·山东高考真题（理））设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0