2022年高考数学一轮复习讲练测4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（新高考练）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（练）【夯实基础】1．（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）函数的周期､振幅､初相分别是（）A．，2，B．，，C．，2，D．，2，【答案】C【解析】根据三角函数的特征即可得出选项.【详解】由，则，振幅为，当时，，即初相为.故选：C2．（2021·云南丽江市·高一期末）已知函数，则（）A．的最小正周期为B．的图象可以由函数向左平移个单位得到C．的图象关于直线对称D．的单调递增区间为【答案】B【解析】27/27 对于A：直接利用周期公式求解；对于B：根据图像的相位变换可以判断；对于C：令，即可解得；对于D：直接求出单增区间即可判断.【详解】对于A：的最小正周期为：,故A不正确；对于B：由函数向左平移个单位得到，故B正确；对于C：令，解得：，若，得：，而,矛盾，故C不正确；对于D：令，解得：，故的单调递增区间为.故B正确.3．（2022·河南高三月考（文））将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简函数的解析式为，根据三角函数的图象变换，求得平移后的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象的解析式为：，27/27 令，解得，当时，可得，所以函数的一个对称中心为.故选：C.4.（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.5.（2019·天津高考真题（文理））已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为奇函数，∴；27/27 又，，又∴，故选C.6.（2021·浙江高二期末）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（）A．收缩压为B．C．舒张压为D．【答案】B【解析】通过观察图象得到该人的收缩压和舒张压，通过图象求出，，利用周期公式求出得解．【详解】由图象可知，函数的最大值为120，最小值为70，所以收缩压为，舒张压为，所以选项AC正确；周期，知，所以选项B错误；由题得，所以所以选项D正确.27/27 故选：B7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图像伸缩平移变换知，，将代入即可求得结果.【详解】由图像伸缩平移变换知，，则故选：C8.（2021·全国高一课时练习）如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心距离水面1米，已知水轮自点开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点距水面的高度（米与时间（秒满足函数关系式，，，则__，__．【答案】2．【解析】根据三角函数性质及水轮的结构可得，再由周期求得．【详解】水轮的半径为2，水轮圆心距离水面1，，27/27 又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，，，故答案为：2；．9．（2021·全国高三其他模拟）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则在区间上的单调递减区间是___________.【答案】【解析】先求出函数的解析式，再求函数在区间上的单调递减区间．【详解】由题得,因为，因为在上单调递减，故由，得所以在区间上的单调递减区间是故答案为：10．（2020·江苏省高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】27/27 当时故答案为：【提升能力】1.（2018·天津高考真题（文））将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[−π4,π4]上单调递增B．在区间[−π4,0]上单调递减C．在区间[π4,π2]上单调递增D．在区间[π2,π]上单调递减【答案】A【解析】由函数y=sin2x+π5的图象平移变换的性质可知：将y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：y=sin2x−π10+π5=sin2x.则函数的单调递增区间满足：2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2k∈Z，即kπ−π4≤x≤kπ+π4k∈Z，令k=0可得函数的一个单调递增区间为−π4,π4，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2k∈Z，即kπ+π4≤x≤kπ+3π4k∈Z，令k=0可得函数的一个单调递减区间为π4,3π4，选项C，D错误；本题选择A选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】27/27 先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后根据图象关于原点对称，求得关于的等式，从而的最小正值可求.【详解】∵∴.又的图象关于坐标原点对称，∴，，∴()，∴当时，取得最小值，故选：B.3．（2021·全国高三其他模拟（文））函数，若不等式对恒成立，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由诱导公式及二倍角公式可得转化条件为是函数的最小值，由正弦函数的性质即可得解.【详解】由题意，不等式对恒成立，是函数的最小值，27/27 当时，的最小正值为．故选：D.4．（2021·江苏高一期中）已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】先由题中条件，得到；进而得出，结合三角恒等变换，将该式化简整理，利用三角函数的性质，即可得出结果.【详解】因为，，又直线与函数的交点分别为A，B，所以，又，所以，因此线段长度的最大值为.故选：A.5.（2021·江西新余市·高一期末（文））已知函数的图象关于直线对称，且对任意，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是（）27/27 A．函数图象的一个对称中心为点B．函数图象的一条对称轴方程为C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象D．函数在上单调递减【答案】D【解析】根据已知条件求出，对A：求出函数的对称中心即可判断；对B：求出函数的对称轴即可判断；对C：根据求出平移后的解析式即可；对D：求出函数的单调递减区间，然后给赋值即可判断.【详解】因为图象关于直线对称，所以，又因为对任意，都有，所以为函数的最小值，所以，故，因为当时，，又因为，所以，所以，令，即，所以函数图象的对称中心为，，则，故A错误；27/27 令，即，所以函数图象的对称轴为，，则，故B错误；将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，故C错误；因为在上单调递减；，即，所以函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故D正确；故选：D.6.（2020·陕西新城�高三月考（文））设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】令，则不等式对恒成立，因此7.（2020·山东五莲�高三月考）函数的部分图象如图所示，则__________；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则__________.27/27 【答案】【解析】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，，所以，，因为，所以.所以，将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，因为函数是偶函数，所以，，所以，，因为，所以，.故答案为：；.27/27 8．（2021·北京首都师大二附高一期末）已知函数.（1）___________；（2）时，f(x)的最小值为___________.【答案】【解析】化简函数解析式得到，代入求得；时，，函数在处取得最小值，代入求得最小值.【详解】则时，，则函数在处取得最小值，即故答案为：；9.（2020·陕西省汉中中学（理））已知函数的周期是.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最值及其对应的的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】27/27 （1）解：∵,∴,又∵,∴,∴,∵,,∴,,∴,,∴的单调递增区间为（2）解：∵,∴,∴,∴,∴,∴,当时,,当,即时,10.（2017·北京高考真题（文））已知函数f(x)=3cos(2x−π3)−2sinxcosx.（I）求f(x)的最小正周期；（II）求证：当x∈[−π4,π4]时，fx≥−12．【答案】（1）T=2π2=π（2）见解析【解析】27/27 （Ⅰ）f(x)=32cos2x+32sin2x−sin2x=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.（Ⅱ）因为−π4≤x≤π4，所以−π6≤2x+π3≤5π6.所以sin(2x+π3)≥sin(−π6)=−12.所以当x∈[−π4,π4]时，f(x)≥−12.【拓展思维】1．（2021·全国高三月考（理））已知将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，函数在上至多存在两个极大值点，则下列说法正确的是（）A．B．在上单调递增C．D．的图象关于直线对称【答案】D【解析】写出的表达式，并由的图象特征求得，再由已知求出并逐项判断作答.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，因为的图象关于y轴对称，所以，解得，又，即，，当时，在，，在27/27 上只有一个极大值点，满足题意；当时，在上至少有7个周期，在其中的每个周期长的区间内有一个极大值点，即在上极大值点的个数大于2，即当时，在上极大值点的个数大于2，于是得，A错误，C错误；又由，当时，，此时是单调递减的，B错误；当时，即，所以的图象关于直线对称，D正确.故选：D2．（2021·北京石景山区·高一期末）如图所示，边长为1的正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是（）A．2B．C．3D．4【答案】A【解析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．【详解】解：令，由于，故，，，，故，，故，同理可求得，即，27/27 ,,，的最大值是2，故选：．3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，点为函数图象上的一个最高点，点，为函数的图象与轴相邻的两个交点．若周长的最小值为，且将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据题意得到，从而得到，再根据平移以后关于原点对称，即可得到答案.【详解】由题意得，，解得，所以，所以，因为的图象关于原点对称，所以，即，因为，所以．故选：D4.（2021·全国高三其他模拟（理））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为27/27 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当时，（）A．6B．C．D．【答案】A【解析】计算，可得的值，将当时，代入结合可得的值，即可得的解析式，由可得点的坐标，即可求解.【详解】由题意得：，，所以，所以，当时，，可得，即，因为，所以，所以，所以，当时，，27/27 此时，即点，所以，故选：A.5．（2021·北京石景山区·高一期末）设，其中，，若对一切恒成立，则对于以下四个结论：①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是．正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．【答案】①③【解析】利用辅助角公式可得且，根据题设不等式恒成立可得，再由各项的描述，结合正弦函数的性质、函数奇偶性定义判断正误.【详解】由题设，且，∵对一切恒成立，∴，即，则,①，正确；27/27 ②，而，所以，错误；③，故，即是非奇非偶函数，正确；④因为在上单调递增，所以，令，则等价于上单调递增，错误；故答案为：①③6．（2021·浙江嘉兴市·高三月考）已知平面单位向量，满足，，记为向量与的夹角，则的最小值是______．【答案】【解析】设，，，由可得点在直线上运动，由可得点在直线上运动，即点是与的交点，然后过点作交于点，可得，然后向量与的夹角为角，在中，由正弦定理可得，然后利用三角函数的单调性可求出答案.【详解】如图所示，设，，27/27 因为，所以所以点在直线上运动，又因为，所以点在直线上运动，故点是与的交点．利用相似可知，过点作交于点所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．又因为向量与的夹角为角，在中，，由正弦定理可得所以因为与都单调递增，所以当时最大，此时，所以的最大值为7．（2021·浙江高二期末）将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为________．【答案】【解析】利用三角函数图象的平移可得第一空，通过解析式画出函数的图象，结合条件“对于任意27/27 ，在区间上总存在唯一确定的，使得”，求出的取值范围，进而确定的最小值．【详解】函数的图像向右平移个单位得到，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则．画出其图象如图，由图可知，对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，的取值范围为．所以的最小值为．故答案为：；．8．（2017·浙江高考真题）已知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.27/27 【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】（Ⅰ）由，，．得．（Ⅱ）由与得．．所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是．9．（2021·天津高二期末）已知函数，（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，求的最小值.【答案】（1），；（2）27/27 【解析】（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.【详解】（1）因为，即，所以函数的定义域所以函数的最小正周期，（2）因为将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，所以，因为又向右平移()个单位长度，27/27 所以，又因为平移后函数的图象关于轴对称，所以，即，所以当时，取得最小值，此时，所以取得最小值为.10．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知函数，．(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．【答案】(1)5π/6；(2)（2,3√2/2）．【解析】(1)把函数通过图像变换变为，然后根据已知单调区间求的最大值；(2)利用函数()和()的图象进行分类讨论来解决函数零点问题.【详解】(1)图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数，因为，所以，27/27 因为，所以，又因为得到的图象在上单调递增，所以，解，所以的最大值为.(2)，令，因为，所以，，所以，，令，显然不是其方程的解，所以得，，画出函数和函数的图象，如下图，则当时，对应的，而当时，对应的只有一个解，不满足题意；当时，此时没有的值对应，所以此时无解，不满足题意；当时，对应的，而当时，对应的有两个解，不满足题意；当时，对应的，，而此时对应的只有两个解，不满足题意；当时，令，得或，此时对应的，，而当对应的时，对应一个的值，而当时对应两个的值，所以此时有三个解，满足题意；当时，对应的，而此时对应的只有一个解，不满足题意；27/27 故的取值范围为.27/27