2022年高考数学一轮复习讲练测3.1导数的概念运算及导数的几何意义（新高考讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第三章导数专题3.1导数的概念、运算及导数的几何意义（讲）【考试要求】1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.2.会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.【高考预测】（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有：①求切线斜率、倾斜角、切线方程．②确定切点坐标问题．③已知切线问题求参数．④切线的综合应用．【知识与素养】知识点1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．【典例1】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数，若，则（）A．36B．12C．4D．214/14 【答案】C【解析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinx14/14 f(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【典例2】（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（）A．B．C．6D．14【答案】C【解析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】，则，则，故选：C【总结提升】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.14/14 ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.知识点3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【典例3】（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．14/14 (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．【重点难点突破】考点1求曲线的切线方程【典例4】（2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，将代入得，故选D．【典例5】（2019·天津高考真题（文））曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。【易错提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．【变式探究】14/14 1.（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．2.（2019·天津高考模拟（文））曲线在点处的切线斜率为_____________.【答案】12【解析】由题意可得：,∴∴曲线在点处的切线斜率为12，故答案为：12考点2求切点坐标【典例6】（2021·浙江宁波市·镇海中学高二期末）函数的图像在点处的切线为，则实数的值为______，切点的坐标为__________．【答案】【解析】设切点，利用导数几何意义和两点连线斜率公式可构造方程求得，进而得到切线斜率和切点坐标.【详解】由题意得：，14/14 设直线与相切于点，，又直线恒过点，，，解得：，，切点故答案为：；.【方法总结】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.【变式探究】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案】.【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，14/14 且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.考点3求参数的值(范围)【典例7】（2020·山东省泰安市模拟）若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.【答案】【解析】因为.所以,所以.因为曲线在点处的切线与直线平行,即.故答案为:.【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．【变式探究】（2021·浙江高三专题练习）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则实数______.【答案】或6【解析】首先利用导数的几何意义得到切线方程为，再根据直线与抛物线相切，即可得到，从而得到答案.【详解】14/14 ，则，，又因为，所以切线方程为，因为直线与抛物线相切，所以方程有两个相等的实数根，，解得或6.故答案为：或6考点4切线的斜率与倾斜角【典例8】（2021·山东济南市·高三其他模拟）函数的图像的切线斜率可能为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出函数的导数，判断出导函数的范围，即可得答案【详解】解：由，得，因为，，所以，所以函数的图像的切线斜率大于，故选：A【典例9】（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】利用导数求得，然后利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得的值.【详解】14/14 ，则，故，故.故答案为：.【变式探究】1．（2021·福建省高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，14/14 故.故选：C.2．（2021·高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【解析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．【详解】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：考点5导数的运算【典例10】（2021·浙江高二单元测试）若函数，满足，且，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】通过赋值，求，再等式两边求导后，赋值，求.【详解】当时，，，得，原式两边求导，得，当时，，得.故选：C【总结提升】14/14 (1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．【变式探究】（2021·江苏常州市·高三一模）已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．【答案】1；【解析】求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.【详解】解：，，令，得；，，.故答案为：1；.【学科素养提升】数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】（2021·河北唐山市·高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线14/14 的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.【答案】【解析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，过，，三点的圆的圆心为，圆心的纵坐标为，设，直线与抛物线相切于点，导数，即在处的切线斜率，即的斜率，即，即，得，即，，，，即，14/14 得，得或（舍，解得．，，，，即的坐标为，，故答案为：，．14/14