2022年高考数学一轮复习讲练测2.3 函数的奇偶性与周期性（新高考）（讲）解析版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第一章函数专题2.3函数的奇偶性与周期性（讲）【考试要求】1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性..【高考预测】1.判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角函数加以考查．3.复习中注意：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.【知识与素养】知识点1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那偶函数关于y轴对称么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，奇函数关于原点对称那么函数f(x)是奇函数【典例1】（2020·浙江高三期末）若函数yfx，ygx定义域为R，且都不恒为零，则A．若yfgx为周期函数，则ygx为周期函数B．若yfgx为偶函数，则ygx为偶函数C．若yfx，ygx均为单调递增函数，则yfxgx为单调递增函数D．若yfx，ygx均为奇函数，则yfgx为奇函数【答案】D【解析】举例说明A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明D正确.【详解】1/13 选项A:fxsinx，gx2x，yfgxsin2x为周期函数，gx2x不是周期函数，故错误；选项B:fxcosx，gx2x，yfgxcos2x为偶函数，gx2x不是偶函数，故错误；2选项C:fxx，gx2x，yfxgx2x不是单调函数，故错误；选项D:fgxfgxfgxfgx，所以yfgx为奇函数，故正确.故选：D【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断fx与fx是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式fx＋f(－x)＝0(奇函数)或fx-f(－x)＝0(偶函数)是否成立.知识点2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例2】．（2021·陕西西安市·高三月考（文））已知函数f(x)的定义域为实数集R，对xR，有f(x2)f(x)成立，且f(2)5，则f(100)A．10B．5C．0D．-5【答案】D【解析】由题意可求出f(x)周期为4，可得f(100)f0再利用已知条件即可求解.【详解】对xR，有f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)fxfx，所以函数f(x)的周期为4，所以f(100)f4250f0，2/13 对于f(x2)f(x)令x0可得f(2)f(0)5，所以f05，即f(100)5，故选：D.【重点总结】21．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【重点难点突破】考点1函数奇偶性的判断例1.（2020·浙江高三其他模拟）“fx是R上的奇函数”是“对任意xR均有fxfx0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先根据fx是R上的奇函数得到fxfx0，满足充分性，根据fxfx0，不能推出fxfx，不满足必要性，即可得到答案.【详解】充分性：fx是R上的奇函数，所以fxfx.2所以fxfxfxfxfx0，满足充分性.必要性：对任意xR均有fxfx0，不能推出fxfx，不满足必要性.所以“fx是R上的奇函数”是“对任意xR均有fxfx0”的充分不必要条件.3/13 故选：A【总结提升】判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：【变式探究】下列函数是偶函数的是（）A.㔠㠰sin㠰B.㔠㠰Ͷ㠰ͶC.㔠sin㠰cos㠰D.ሺ㠰ݔ㔠logሺ㠰㠰ݔ【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,ሺ㠰ݔ㔠ሺ㠰ݔsinሺ㠰ݔ㔠ሺ㠰ݔsin㠰㔠㠰sin㠰㔠ሺ㠰ݔ，所以函数是偶函数.考点2函数奇偶性的性质及应用x例2.（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1，则当x