2022年高考数学一轮复习讲练测2.4 二次函数与幂函数（新高考浙江讲）原卷版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第一章函数专题2.4二次函数与幂函数（讲）【考试要求】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.【高考预测】1．与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；要格外注意“三个二次”的结合问题；2．幂函数的图象与性质的应用.【知识与素养】知识点1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇【典例1】（2021·浙江省高一期末）幂函数的图象经过点，则_______【思路点拨】8/8 幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，利用待定系数法，先求幂指数，得到函数解析式，进一步求函数值.知识点2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0．若对任意x∈［–3，+∞），f(x)≤x恒成立，则a的取值范围是__________．【总结提升】由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【变式探究】（2019·天津高考模拟（文））若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为________.考点6二次函数的综合应用8/8 例7.（2021·浙江高三二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．例8.（2019·陕西省汉中中学高三月考（理））已知函数fx=x2+ax+3．（Ⅰ）当a=−4时，求函数fx的零点；（Ⅱ）若函数fx对任意实数x∈R都有f1+x=f1−x成立，求函数fx的解析式；（Ⅲ）若函数fx在区间−1,1上的最小值为−3，求实数a的值．【思路点拨】（Ⅰ）代入a的值，令fx=0即可求得函数的零点.（Ⅱ）根据f1+x=f1−x可知函数的对称轴为x=1，进而求得a的值，即可得到解析式.（Ⅲ）讨论对称轴x=−a2与区间−1,1的位置关系，结合单调性和最小值，即可求得a的值.【变式探究】1.（2021·浙江高一开学考试）已知函数f(x)=x2+2ax+1，存在x0∈R，使得及同时成立，则实数a的取值范围是_______________.2．（2020·浙江杭州市·高一月考）已知函数．（1）若的定义域为，求实数a的取值范围．（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．考点7幂函数的图象和性质例9.若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为（）A.B.C.D.8/8 例10.（2021·浙江高一期末）已知幂函数在区间上递增，则实数___________.【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．【变式探究】1.（2021·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断2.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，且a=m12，b=(13)m，c=−logm3，则a、b、c的大小关系是（）A．a>c>bB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b【学科素养提升】转化与化归思想8/8 转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等【典例】（2021·浙江高一期末）设函数（1）若是偶函数，求k的值（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围；（3）设函数若在有零点，求实数的取值范围．8/8