2022版高考数学一轮复习练案19理 18文高考大题规范解答系列一_函数与导数练习含解析新人教版

高考高考大题规X解答系列(一)——函数与导数1．(2021·新高考八省联考)已知函数f(x)＝ex－sinx－cosx，g(x)＝ex＋sinx＋cosx.(1)证明：当x>－时，f(x)≥0；(2)若g(x)≥2＋ax，求a.[解析](1)当x∈时，f(x)＝ex－sin≥ex>0；当x∈时，f′(x)＝ex－cos为增函数且f′(0)＝0，f(x)在减，在上增，因此f(x)≥f(0)＝0，恒有f(x)≥0；当x∈时，f′(x)＝ex－cos，∵ex≥e>，∴f′(x)>0，∴f(x)在上为增函数，∴f(x)≥f＝e－sin>0；综上所述：当x>－时，f(x)≥0成立．(2)由已知得ex＋sinx＋cosx－2－ax≥0，设h(x)＝ex＋sinx＋cosx－2－ax且h(0)＝0.∵h(x)≥h(0)，∴0是h(x)的一个最小值点，也是一个极小值点，∴h′(0)＝0，即e0＋cos0－sin0－a＝0，∴a＝2.2．(2020·某某省某某师X大学附属中学高三上学期开学考试)设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，某某数a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f8/8 高考(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，某某数a的取值X围．[解析](1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0,01，∴2ax＋1>0，ax－1>0，∴f′(x)0，∴x＝－舍去．当01时，f′(x)ln2－1，x>0)成立，想到证明ex－x2＋2ax－1>0成立给什么用什么通过对第(1)问的研究，求得f(x)＝ex－2x＋2a的单调性与极值，仔细观察，可发现(ex－x2＋2ax－1)′＝ex－2x＋2a缺什么找什么需要研究函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1的单调性或最值，利用导数研究即可[解析](理)本题考查导数的几何意义和利用导函数讨论函数单调性、零点等问题．8/8 高考(1)解：∵f′(x)＝ex，∴f′(0)＝3.又∵f(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.(2)证明：由f(x)＋g(x)＝0存在两个正实数根，整理得方程ex＝a(x－1)(x≠1)存在两个正实数根．记这两个正实数根为x1，x2(x10，知x2>x1>1，令h(x)＝ex－ax＋a，则h(x)在(1，＋∞)上有两个零点，令h′(x)＝ex－a＝0，则x＝lna.当1≥lna，即00，∴2a－alnaln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a.又a>ln2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.8/8 高考7．(2020·全国Ⅲ，20)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值X围．[解析]本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点个数问题．(1)f′(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；当k0，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝±.当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)0.故f(x)在，单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增，f(x)不可能有三个零点．当k>0时，x＝－为f(x)的极大值点，x＝为f(x)的极小值点．此时，－k－1