2022版高考数学一轮复习第8章第5讲空间向量及其运算训练含解析

第八章　第5讲[A级　基础达标]1．(2019年绍兴期末)已知空间向量a＝(1，－1,0)，b＝(3，－2,1)，则|a＋b|＝(　　)A．　B．　C．5　D．【答案】D2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值是(　　)A．－1　　　B．　　　C．　　　D．【答案】D3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于m，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)A．m2　　　B．m2　　　C．m2　　　D．m2【答案】C4．(2021年贵阳期末)已知空间直角坐标系中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，点C满足＝，则C的坐标为(　　)A．(3，－2,2)　B．(－2，－6，－2)C．(6，－4,4)　D．(0，－11，－1)【答案】A5．(2020年哈尔滨月考)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝(　　)A．5　B．6　C．4　D．8【答案】A　【解析】由题可得＝＋＋，故2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos60°＝25，故||＝5.7 6．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．【答案】(0，，)　【解析】依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________.【答案】＋＋【解析】由题意知＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋8．(2020年郑州调研)已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．【答案】　【解析】因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，即当λ＝时，·取得最小值－.此时＝.9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解：(1)因为c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，所以c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝＝3|m|＝3，7 所以m＝±1．所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．又因为|a|＝＝，|b|＝＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10．(2019年银川月考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且|BE|＝|BB1|，|DF|＝|DD1|.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋.所以A，E，C1，F四点共面．(2)＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋.所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.[B级　能力提升]11．(2019年吉林期末)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y＝(　　)A．－　B．　C．　D．－7 【答案】B　【解析】若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)＝＋＋成立，所以＝，可得λ＝，所以x＝y＝，可得x＋y＝.12．(多选)下列说法正确的有(　　)A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B．若p与a，b共面，则p＝xa＋ybC．若＝x＋y，则P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，则＝x＋y【答案】AC　【解析】A正确；B中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．13．(2020年耒阳月考)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．【答案】　【解析】||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为.14．(一题两空)(2020年烟台模拟)如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为________；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为________．【答案】－1　　【解析】⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，则·＝(－)·(＋λ)＝·＋λ·－·－λ·＝cos60°＋λ－cos30°－λcos60°＝－＋λ＝0，解得λ＝－1．如图，连接A1B，与AB1交于点E.连接A1M，交AN于点F，连接EF.因为BM∥平面AB1N，所以BM∥EF.因为E点为A1B的中点，所以F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P.因为AA1∥DD1，A1F＝FM，所以AA1＝MP＝7 2D1P.所以＝＝2.所以＝，解得λ＝.　　15．设空间三点A(1,0，－1)，B(0,1,2)，C(2,5,1)．试求：(1)向量2A＋A的模；(2)向量A与A的夹角的余弦值．解：(1)因为A＝(0,1,2)－(1,0，－1)＝(－1,1,3)，A＝(2,5,1)－(1,0，－1)＝(1,5,2)．所以2A＋A＝2(－1,7,8)．所以|2A＋A|＝＝.(2)因为|A|＝＝，|A|＝＝，·＝(－1)×1＋1×5＋3×2＝10，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.16．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值．解：连接BG(图略)．因为＝－，＝，所以＝－.因为＝＋，所以＝＋－＝－＋＋.因为＝，所以＝.7 所以＝(－＋＋)＝－＋＋.又因为＝－，所以＝－＋＋.因为＝m，所以＝m＝－＋＋.因为＝－＋＝－＋，所以＝＋＋.又因为G，B，P，D四点共面，所以1－＝0，m＝.所以m的值是.[C级　创新突破]17．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．【答案】　【解析】建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，－1，0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M.设P(x，y,0)，则＝，＝.由·＝0，得y＝，所以点P的轨迹方程为y＝.根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2＝.18．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)·；7 (2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝＝c－a，＝－a，＝b－c.(1)·＝·(－a)＝a2－a·c＝.(2)·＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－.由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.7