2022年新高考数学基础训练第09讲 利用导数研究函数的单调性(提升训练)(解析版)

第09讲利用导数研究函数的单调性【提升训练】一、单选题1．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．(1，2]D．[1，2)【答案】A【分析】利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可.【详解】显然函数的定义域为，．由，得函数的单调递增区间为；由，得函数单调递减区间为．因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即．综上可知实数k的取值范围是．故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.本题解题的关键在于结合已知条件，得，进而求解.2．已知，若，，，则（） A．B．C．D．【答案】A【分析】构造函数，利用函数在上单调递减可得答案.【详解】构造函数，则，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，所以，故选：A．【点睛】本题考查了比较大小的问题，解题的关键点是构造函数利用函数的单调性解决问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数求得函数在上单调递减，再比较函数值的大小，即可得到答案；【详解】设，则，，，当时，单调递增，故，即在上单调递减，故，即，又，故.故选：A. 【点睛】本题求解的关键在于构造函数，再利用导数研究函数的单调性，同时注意结合放缩法.4．若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设，利用导数求得，结合，得到，可判定A、B不正确；设，求得在上单调递增，得到，可判定D正确.【详解】设，则，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以，所以一定存在，，且，使，即，所以A、B不正确；设，则，所以在上单调递增，所以，即，所以D正确.故选：D. 【点睛】方法点拨：根据选项分别构造新函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，进行判定是解答的关键.5．已知，，下列说法错误的是（）A．若，则B．若，则C．恒成立D．，使得【答案】D【分析】A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用基本不等式可判断出大小关系.【详解】解：对于A：，所以，因为，所以，所以，故A正确；对于B：设，则，所以上单调递增，因为，所以，所以，所以，故B正确；对于C：已知，，所以，当且仅当时，等号成立，当时，成立，故C正确；对于D：令，则，因为，所以单调递增，则不存在，故D错误.故选：D. 【点睛】实数间的大小比较，常见解题思路如下(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的大小比较；(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.6．已知函数，则（）A．在（0，+∞）上单调递增B．对任意m∈R，方程+m=0必有解C．的图象关于y轴对称D．是奇函数【答案】C【分析】A选项：对求导，进一步判断单调性；B选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数的图像在轴上方，从而得出结论.CD选项：根据B选项可知结论.【详解】A选项：函数定义域为，设 在（0，+∞）上，所以，即单调递减，故∴当时，，即在（0，+∞）上单调递减，故A错误；B选项：∴为偶函数，关于轴对称，在，单调递增，在，单调递减，当时，，∴的图像在轴上方，∴当时，与的图像无交点，说明方程+m=0无解，故B错误；C选项：根据B选项可知是关于轴对称C正确；D选项：根据B选项可知是偶函数，故D错误.故选：C.【点睛】求函数单调性的方法：1.变化趋势法；2.复合函数法；3.定义证明方法；4.等价形式法；5.导数法，注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；7．已知函数，现有下列四个结论:①是奇函数；②当时，恰有两个零点；③若为增函数，则；④当时，恰有两个极值点.所有正确结论的编号是（） A．①③B．①③④C．②④D．①②③【答案】B【分析】由奇偶性的定义可判断出①正确；利用导数可求得，知单调递增，结合知②错误；将为增函数转化为恒成立，利用分离变量法可得，利用导数可求得，由此得到，知③正确；利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，结合零点存在定理可知存在两个变号零点，由此知④正确.【详解】对于①，定义域为，，为奇函数，①正确；对于②，当时，，，，，，在上单调递增，又，有且仅有一个零点，②错误；对于③，，若为增函数，则对恒成立，，令，则，，在上单调递减，又，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，解得：，即若为增函数，则，③正确；对于④，当时，，则，，， 在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，，，在和上分别存在一个变号零点，有两个极值点，④正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数知识的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、利用导数讨论函数零点个数问题、根据函数单调性求解参数范围问题；其中根据函数单调性求解参数范围的关键是能够将问题转化为与导函数有关的恒成立问题的求解，进而利用分离变量法求得结果.8．已知函数，，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先联立方程组可以求出，根据原函数和导函数的关系可以求出，接下来利用导数判断函数的单调性，比较的大小即可得出结论.【详解】联立与，得，，则，所以．由，知函数为偶函数．，当时，，当时， 则函数在上单调递减，在上单调递增．因为，所以故选：C．【点睛】本题考查函数的基本性质、利用导数研究函数的单调性、指数、对数函数的性质，考查运算求解能力、推理论证能力，考查逻辑推理核心素养．9．若且，且，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】定义()，判断出在上单调递增，在上单调递减；分别把，，两边取对数，转化为型，利用单调性比较大小，即可得到.【详解】令()，则.由得：.∴函数在上单调递增，在上单调递减.∵，，，∴，，，∴，，.∵，∴，∴，又∵，，，∴c，a，b都小于e，∴.故选：B.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 10．已知，，，且，则（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】把已知条件转化为，，，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的的大小.【详解】解：∵，，，且，化为：，，，令，，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，，且，∴，同理可得．可得，故选：D．【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.11．已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先对求导，再令，研究的单调性，从而确定 的单调性和变化情况，最后根据选项来确定答案.【详解】，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为，所以当时，；当时，.于是对恒成立.故选：D.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是通过研究的单调性来确定的变化情况，二是根据选项来判断不等式的成立.12．若，则（）A．B．C． D．【答案】C【分析】由已知得函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】所以是R的偶函数，．，又又当，所以在(0，+∞)单调递减，∴，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．13．已知函数，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先判断出的奇偶性，再利用导数判断出是单调性，再利奇偶性和单调性可得答案.【详解】 因为，，所以是奇函数，，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数所以在上是增函数，由，得，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查了利用单调性解不等式问题，解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.14．已知(a≠2)，(b≠3)，(c≠4)，则（）A．c