2022届新高考（全国I卷）地区优质数学分项专题9平面解析几何【解析版】

2022届新高考（全国I卷）地区优质数学试卷分项解析专题9平面解析几何（11月卷）一、单选题1．（2021·高三月考）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则()A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．2．（2021·河北·大名县第一中学高三月考）抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A．B．C．0D．【答案】B【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点M到焦点的距离为1转化为点M到准线的距离为1，故可求点M的纵坐标．【详解】解：抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标是y，则∵抛物线y上一点M到焦点的距离为1∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1∴∴ ∴点M的纵坐标是故选B．3．（2021·广东福田·高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（）A．B．C．D．1【答案】B【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可得，即可得到为等边三角形，从而得到，即可得到直线的斜率；【详解】解：依题意，即，又，，，所以，所以为等边三角形，即为椭圆的上顶点，所以，所以故选：B4．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，再根据双曲线的定义求出，即可求出离心率；【详解】解：双曲线上一点满足轴，若，所以，所以，即，又，所以故选：B5．（2021·高三月考）若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（） A．，B．C．D．【答案】D【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去，利用判别式大于0和联立求得的范围．【详解】由消去y，整理得，的两根为x1，x2，∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，∴，∴k＜﹣1，∴.故选：D．6．（2021·高三月考）方程|y|-1=表示的曲线是A．两个半圆B．两个圆C．抛物线D．一个圆【答案】A【分析】把方程变形（去掉绝对值符号后）化简后，注意变量的取值范围．【详解】方程可变形为或，它们分别表示一个半圆．因此题中方程表示两个半圆，故选A．7．（2021·湖北武汉·高三期中）已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，则（）A．B．4C．D．【答案】C【分析】由点在圆上，所以点为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利用点斜式即可求得切线方程，再求点的坐标，利用两点间距离公式即可得解.【详解】解：由圆，得圆心，半径，又因为为切点，所以，所以直线的斜率为，所以，即直线，则令，则，故选：C.8．（2021·高三月考）设是椭圆上一点，分别是两圆和上的点，则的最小值和最大值分别为A．4，8B．2，6C．6，8D．8，12【答案】A【分析】在两个三角形中，由三角形知识列不等式，，两不等式组同向相加，再利用椭圆定义即可得解．【详解】根据题意作出如下图像，其中是椭圆的左，右焦点， 在中可得：…①,当且仅当三点共线时，等号成立，在中可得：…②，当且仅当三点共线时，等号成立，由①+②得：，由椭圆方程可得：，即由椭圆定义可得：，所以可化为：.故选A.9．（2021·高三月考）已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则A．B．C．D．与关系不确定【答案】A【详解】F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a∴x=a； |OA|=a，在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．∴|OB|=|OA|．故选A．10．（2021·高三月考）椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】设P点坐标为，则，，，于是，故.∵∴.故选B.11．（2021·高三月考）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A．(–1,3)B．(–1,)C．(0,3)D．(0,)【答案】A【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．12．（2021·广东·高三月考）圆上的点到直线的距离的最小值为（）A．1B．2C．4D．5【答案】A【分析】 求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由，得，圆心为，半径，圆心到直线的距离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：A13．（2021·高三期中（文））已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14B．16C．18D．20【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则，则，，的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．的周长最大值等于18． 故选：C．14．（2021·江苏·金陵中学高三期中）设是双曲线的左，右焦点，点P在C上，若，且(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据平面向量加法的几何意义、双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线渐近线方程进行求解即可.【详解】不妨设点P在C的右支上，设，由双曲线的定义可知：，因为，所以，即，由余弦定理可知：，而，所以，因此C的渐近线方程为，故选：A15．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据题意，过点P作y轴的垂线，垂足为N，进而根据题意结合三角形相似得，再结合抛物线定义即可得答案.【详解】 由抛物线，可知，即（O为坐标原点），过点P作y轴的垂线，垂足为N，如图，因为，所以由三角形相似可知，所以，所以点P到准线l的距离为5.故选：C.16．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（）A．2B．4C．D．【答案】D【分析】根据可得、的关系式，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，，所以， 当且仅当即，时取等号，的最小值为，故选：D17．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）已知点，若圆：，（）上存在两点，，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取的中点，连接，，设，在和中，利用和分别表示和，由可得，再由即可求解.【详解】由圆：，（）可得圆心，，取的中点，连接，，因为，所以，设，在中，由勾股定理可得：，在中，由勾股定理可得：，所以，整理可得：，因为，所以，解得：，因为，所以，所以，故选：D. 18．（2021·河北·大名县第一中学高三月考）过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（）A．B．2x+y-3=0C．x=1D．不存在【答案】D【分析】设出点P，Q的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率并求出其方程，再将直线l与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点，因点是的中点，则，从而有，两式相减得：，即，于是得直线l的斜率为，直线l的方程为：，即，由消去y并整理得：，此时，即方程组无解，所以直线l不存在.故选：D19．（2021·河北·深州长江中学高三期中）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（）A．B． C．D．【答案】A【分析】由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；圆心到直线的距离，，解得：或，又不经过坐标原点，，即，与坐标轴的交点坐标为，，直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，所求外接圆方程为，即.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.20．（2021·高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为 A．B．C．D．【答案】A【详解】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得,又,又,,双曲线C的方程为,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.21．（2021·湖北武汉·高三期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程.【详解】 因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，得：，解得：，显然=0，所以，所以双曲线的渐近线为故选：D二、多选题22．（2021·河北·深州长江中学高二期中）点在圆上，点在圆上，则（）A．的最小值为3B．的最大值为7C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【分析】分别找出两圆的圆心和的坐标，以及半径和，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，根据大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又为圆上的点，为圆上的点，便可求出其最值，用斜率公式求出.【详解】 圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC23．（2021·广东龙岗·高三期中）已知圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的值可取（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】依题可知圆心到直线的距离小于1，计算即可.【详解】依题可知：圆心到直线的距离小于1所以故选：AB24．（2021·高三月考）已知曲线的方程为．（）A．当时，曲线是半径为2的圆B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C．存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线D．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件【答案】ABD 【分析】A.由得到曲线方程判断；B.由得到曲线方程判断；C.根据曲线为离心率为的双曲线，则由判断；D.利用充分和必要条件的定义判断.【详解】A.当时，曲线方程为，所以是半径为2的圆，故正确；B.当时，曲线方程为，所以是双曲线，且其渐近线方程为，故正确；C.若曲线为离心率为的双曲线，则，方程无解，故错误；D.当时，，曲线为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故必要，故正确；故选：ABD25．（2021·广东·高三月考）已知点是抛物线上一动点，则（）A．C的焦点坐标为（2，0）B．C的准线方程为C．D．的最小值为【答案】BCD【分析】根据抛物线方程直接求出焦点和准线，即可判断A、B；利用抛物线的定义即可判断选项C；根据抛物线方程消元，得到构造基本不等式求出最小值.【详解】抛物线，所以焦点坐标为，C的准线方程为，故A错误；B正确；根据抛物线的定义可得P到焦点的距离等于P到准线的距离，即.故C正确；因为，所以，（当且仅当，即时，等号成立.）故的最小值为.故D正确.故选：BCD. 26．（2021·高三月考）设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，若（）A．，则B．，则C．，则的取值范围是D．，则的取值范围是【答案】BD【分析】先设，焦距为，根据椭圆与双曲线的定义，求出，；当，得，进而可判断B正确，A错；当时，得到，推出，利用换元法，结合函数单调性，即可判断D正确，C错.【详解】如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，当时，则，所以，即，由离心率的公式可得，故正确. 当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在上单调递增，可得，则，故正确.故选：27．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）已知椭圆上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，，的面积为S，则下列说法正确的是（）A．若，则满足题意的点P有4个B．若，则C．的最大值为D．若是钝角三角形，则S的取值范围是【答案】ABC【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A；结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B；根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C；根据C中的推理可以判断不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据角的变化情况先考虑的情况，进而求得答案判断D.【详解】由题意，， 对A，设，则，由椭圆的范围可知A正确；对B，如图，设，因为，所以在中，而，因为，所以，故B正确；对C，由，当且仅当时取“=”，即的最大值为，C正确；对D，根据C可知，最大值为，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若，将x=2代入椭圆方程解得：，此时，则是钝角三角形，S的取值范围是，D错误.故选：ABC.28．（2021·高三月考）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为 【答案】BCD【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A，根据焦点弦性质判断B，由向量共线与焦点弦性质判断C，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D．【详解】对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，，故B正确；对于C，若，则过点，则，当时，，即抛物线通经的长，故C正确，对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别作准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确．故选：BCD．结论点睛：本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性质，对抛物线，是抛物线的过焦点的弦，，则，，，最小时，是抛物线的通径． 三、填空题29．（2021·福建省福州华侨中学高三期中）直线被圆裁得的弦长为__________．【答案】4【分析】求出圆心到直线的距离即可【详解】圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离为所以弦长为故答案为：430．（2021·河北·大名县第一中学高三月考）若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．【答案】##【分析】根据三角形的面积的最大值求得，进而求得，从而求得椭圆方程.【详解】依题意，椭圆焦点在轴上，三角形的面积的最大值为，所以，所以椭圆方程为.故答案为：31．（2021·广东·高三月考）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出C的一个标准方程：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】 根据题意和椭圆的定义，求得，进而求得，又由，求得，即可写出一个椭圆的方程.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，即.根据题意可设C的方程为，因为椭圆的短轴长为4，则可得，，又由，可得，解得，所以其中椭圆的一个标准方程.故答案为：（答案不唯一）.32．（2021·湖南·高三月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____．【答案】【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．【详解】解：斜率为的直线过抛物线的焦点，直线的方程为，即，直线与圆相切，圆心为，半径为，，解得或（舍去）.故答案为：.33．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）若圆截直线所得的最短弦长为，则实数______． 【答案】【分析】求得圆的圆心和半径，求得直线过的定点，根据圆的几何性质，以最短弦长列方程，解方程求得，进而求得的值.【详解】易知圆的圆心为，半径，直线恒过点.又，当时，所得弦最短，此时弦长为，解得，所以，解得.故答案为：34．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知双曲线的左右焦点分别是，点是双曲线右支上一点，且，则三角形的面积等于____【答案】48【详解】略35．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若点是抛物线上一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为______．【答案】4【分析】由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，则可得的最小值为点到抛物线准线的距离，即可得出答案【详解】抛物线的焦点为，准线为，过作准线的垂线，交准线于由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，所以所以的最小值为4，故答案为：4 36．（2021·高三月考）已知椭圆C：的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率的平方是______．【答案】【分析】求出直线AB方程和点的轨迹方程，可得直线与圆相切，即可建立方程求解.【详解】由题可得，则直线AB方程为，即，因为，可得点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，方程为，因为线段AB上有且只有一个点P满足，所以直线AB与圆相切，则，化简得，则，即，又，解得，则故答案为：.37．（2021·高三月考）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______．【答案】2【分析】设，代入双曲线方程，利用点差法，可求得，代入离心率公式，即可得答案.【详解】 设，则，两式作差可得：，即，因为为BD中点，所以，又直线BD斜率为1，所以，代入可得，，所以C的离心率.故答案为：238．（2021·高三月考）设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为_____．【答案】3.【分析】由点到直线的距离公式和弦长公式求得的关系，利用基本不等式即可求解即可.【详解】如图所示,取CD中点E,连接OE,则OE⊥CD,∵l与圆相交所得弦的长为2,,又∵圆的半径,直线的方程为,由点到直线的距离公式得=,∴m2＋n2=≥2|mn|,∴|mn|≤,当且仅当时取等号,的最大值为.l与x轴交点A(,0),与y轴交点B(0,),=·||||=·,的面积的最小值为. 故答案为：3.39．（2021·高三月考）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为___________.【答案】【分析】求出函数图象的对称中心坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】，所以，函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为函数图象的对称中心为原点，所以函数图象的对称中心为，由题意可得，即，因为、均为正数，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 40．（2021·湖北武汉·高三期中）已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.【答案】【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线､的距离相等，所以，同理可得，，由比例关系性质可知.又椭圆的离心率.所以，所以，故，故答案为：4.