2022年高考数学重点必备解题方法06 常见的奇偶函数与性质全归纳(原卷版)

专题06常见的奇偶函数与性质全归纳知识点一:奇偶函数特性奇函数性质:(1)为奇函数,定义域关于原点对称,图像关于原点对称.(2)为奇函数.(3)若奇函数的定义域包含0,则.(4)若既为奇函数,又是周期函数,则的半周期是零点偶函数性质:(1)为偶函数,定义域关于原点对称,图像关于轴对称.(2)若函数是偶函数,则恒成立.(3)若偶函数在处可导,则知识点二:常见必背奇偶函数常见的奇函数:常见的偶函数: 评注:当不了解函数的性质和特点,就难以把握解题思路,同学们应当尽量将常见的奇函数与偶函数记牢,不仅可以迅速辨别函数的奇偶型,同时也能开拓解题思路,快速找到解题方法.例1:若为奇函数,则实数.例2:是否存在实数使为奇函数?若存在.例3:已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是.A.B.C.D.例4:若,则是.A.奇函数,且在上是增函数B.奇函数,且在上是减函数C.偶函数,且在上是增函数D.偶函数,且在上是减函数 例5:设函数为常数).若为奇函数,则;若是上的增函数,则的取值范围是__________.例6:若是偶函数,则.知识点三:奇偶函数的四则运算偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=奇函数偶函数偶函数=偶函数奇函数奇函数=偶函数偶函数奇函数=奇函数例6:若函数为偶函数,则_______.例7:函数的图像.A.关于轴对称B.关于原点对称C.关于直线对称D.关于轴对称例8:已知是偶函数,且不恒等于零,则是.A.奇函数B.偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数知识点四:奇函数特性深度拓展(1)若是奇函数,则在两个对称的区间上单调性相同.(2)若是奇函数,,则.(3)若是奇函数,且有最大(小)值,则有最小(大)值,且最大值与最小值互为相反数.例9:函数在上的最大值与最小值之和为_______.例10:若关于的函数的最大值为,最小值为,且,则实数的值为_______.例11:已知,设的最大值为,最小值为,那么_________. 达标训练1.设为定义在上的奇函数,当时,,则.A.3B.1C.D. 2.定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个周期,若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为.A.0B.1C.3D.53.设为定义在上的奇函数,当时,,则.A.3B.1C.D.4.已知,则使得成立的的取值范围是.A.B.C.D.5.偶函数在区间上单调递增,满足的的取值范围是A.B.C.D.6.若函数的最大值为,最小值为,则.A.B.C.D. 7．已知定义在上的奇函数在上单调递增，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．8．定义在R上的偶函数，其导函数，当x≥0时，恒有，若，则不等式的解集为（　　）A．(,1)B．(∞,)∪(1,+∞)C．(,+∞)D．(∞,)9．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．10．已知函数的定义域为，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． 11．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已如的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A．B．2C．0D．13．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A．B．C．0D．214．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．0B．2C．3D．15．已知奇函数的定义域为，且．若当时，，则的值是（）A．B．C．D．16.若函数为偶函数,则. 17.已知偶函数在上单调递减,.若,则的取值范围是18.判断且的奇偶性________.19.设函数的最大值为,最小值为,则__________.20.已知函数,其导函数记为,则_________.21．设函数的定义域为集合A，值域为集合．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围．22．已知函数对一切都有．（1）求证：是奇函数；（2）设，用表示． 23．已知是定义在上的奇函数，且当时，，（1）求在上的解析式；（2）求在上的值域；（3）求的值.24．已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的，都有．（1）求和的值；（2）证明：为奇函数，并且；（3）若在区间上单调递减，直接写出关于的不等式的解集