备战2022年新高考数学45天核心考点专题19 解三角形（原卷版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题13解三角形一、单选题（本大题共10小题，共50分）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosC=b，则△ABC的形状是(    )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD，则AD的长为(    )A.4B.5C.6D.73.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(    )A.103海里B.1063海里C.52海里D.56海里4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3，a=3b，则c的值为(   )A.3B.72C.473D.235.如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（）mA.20B.30C.40D.506.为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )A.B.3−64km2C. D.6−34km21.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=23，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为(   )A.1010B.105C.31010D.31052.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行，则△ABC一定是(    )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或者直角三角形3.海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，cosA=23，则该三角形内切圆半径(   )A.2B.3C.10D.54.在ΔABC中，若1sinA+1sinB=21tanA+1tanB，则(    )A.C的最大值为π3B.C的最大值为2π3C.C的最小值为π3D.C的最小值为π6二、单空题（本大题共4小题，共20分）5.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．6.在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．7.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______． 1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4 km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．三、解答题（本大题共4小题，共30分）2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosB+bcosC=3acosB．(1)求cosB的值；(2)若|CA−CB|=2，△ABC的面积为22，求边b．3.在①2acosC+c=2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且      ．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值． 1.设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，m=(cosC2,sinC2)，n=(cosC2,−sinC2)，m与n的夹角为π3．(1)求角C的大小；(2)已知c=72，△ABC的面积S=332，求a+b的值．2.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？