备战2022年新高考数学45天核心考点13 导数在解决实际问题中的应用（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题13导数在解决实际问题中的应用一、单选题1.某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.513921元，如果销售额函数是f(x)=−x+ax+x(x是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，8162a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【答案】B139211【解析】解：设销售利润为g(x)，得g(x)=−x+ax+x−1−x816221392=−x+ax−1，8161392当x=2时，g(2)=−×2+a×2−1=2.5，解得a=2．8161392∴g(x)=−x+x−1，883293g'(x)=−x+x=−x(x−6)，848∴函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减．∴x=6时，函数g(x)取得极大值即最大值，故选B．2.第14届全运会将于2020年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成42500k正比，且比例系数为kk>0，较长的池壁维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时25x2x值为()A.25B.30C.35D.40【答案】A学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得82500ky=1250×150+kx+k>025x285000k则y'=k−．25x3令y'=0，解得x=25．当00，故当x=25时，y有最小值．因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．故选A．3.如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为()l)31l)3l3l3A.(πB.(πC.()πD.2()π69244【答案】A【解析】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长l为定值：4R+2H=l，lH=−2R，2V=SH=πR2H=πR2(l−2R)=πR2l−2πR3，22求导：V'=πRl−6πR2，令V'=0，πRl−6πR2=0，πR(l−6R)=0，l−6R=0，lR=，6l当R=，圆柱的体积有最大值，6圆柱体积的最大值是：llV=πR2−2πR3=()3π26故选：A．4.设曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() A.B.C.D.【答案】C【解析】解：曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，∴g(x)=cosx，则函数y=x2g(x)=x2cosx，设f(x)=x2cosx，f(−x)=−x2·cos−x=x2·cosx=f(x)，∴y=f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B;令x=0，得f(0)=0，排除D．故选C．5.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为()3SA.π+4SB.π+42SC.π+4SD.2π+4【答案】C【解析】解：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x，矩形高为h，则，，∴窗户的周长，，由L'=0，得，时，L'0；当x∈,时，V'0，f(x)递增，f(x)无最小值；当a>0时，x>lna时，f'(x)>0，f(x)递增；xe3时，g'(a)g(t1)−g(t2)，∴−t>−t，2−t12−t1即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，f(t)在t2时刻的切线的斜率小于g(t)在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，学科网（北京）股份有限公司 ∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[t1,t2]的污水治理能力最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．16.如图，平面内△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，OA=2，OC=1，点CS1在△AOB的内部(不包括边界)，△ACB，△BOD的面积分别记作S1，S2，则S的取值范围为__________．2【答案】3−1,+∞【解析】解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴建系，作CH⊥AB，DM⊥OB，设∠COA=θ，则，则Ccosθ,sinθ，A(2,0)，B(0,2)，D(−sinθ,cosθ)，所以过AB两点的直线方程为x+y−2=0，CH为点C到直线AB的距离，1S12CH·22cosθ+sinθ−22−cosθ则=1==−1，S2DM·2sinθsinθ2 2−cosθ1−2cosθ设fθ=，则f'θ=，sinθsin2θπ所以f(θ)在0,上单调递减，在单调递增，3S1所以，则的最小值为3−1．S2故答案为3−1,+∞．学科网（北京）股份有限公司