备战2022年新高考数学45天核心考点14 导数中的恒成立与存在性问题（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题14导数中的恒成立与存在性问题一、单选题푥1.已知函数푥ȧȊ푥，若푥ȧ푥在푥晦䁧ȧ时总成立，则实数k的取值范围是ȧA.䁧hB.䁧hC.䁧hD.䁧h【答案】A【解析】解：当푥Ȋ晦时，푥ȧ푥显然恒成立；푥푥当푥㈠晦时，푥ȧ푥即为푥푥晦，设푥ȧȊ푥푥푥㈠晦ȧ，则푥ȧȊ푥푥，令푥ȧȊ푥ȧȊ푥푥，푥ȧȊ푥㈠晦，函数푥ȧ在晦䁧ȧ上为增函数，当时，푥ȧ㈠晦ȧȊ晦，故函数푥ȧ在晦䁧ȧ上为增函数，푥ȧ㈠晦ȧȊ晦，即푥ȧ푥成立；当㈠时，晦ȧȊ㌳晦，ȧȊ㈠晦，故存在푥晦晦䁧ȧ，使得푥晦ȧȊ晦，当푥晦䁧푥晦ȧ时，푥ȧ㌳晦，푥ȧ单调递减，则푥ȧ㌳晦ȧȊ晦，即푥ȧ㌳푥，不符题意；综上所述，实数k的取值范围为䁧h．故选：A．2.已知푥ȧȊ푥푥䀀푥在区间晦䁧ȧ上单调递增，则实数a的取值范围是ȧA.䁧tȧB.䁧thC.晦䁧tȧD.晦䁧th【答案】B【解析】解：由푥ȧȊ푥푥䀀푥得푥ȧȊt푥，푥因为푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递增，所以t푥晦在晦䁧ȧ上恒成立，푥即t푥在晦䁧ȧ上恒成立，푥因为푥晦䁧ȧ时，t푥t，当且仅当푥Ȋ时等号成立，푥所以t．学科网（北京）股份有限公司 故选B．ln푥ȧ䁧푥䁧3.已知函数푥ȧȊ若|푥ȧ|푥晦恒成立，则实数a的取值范围是ȧ푥䁧푥㈠䁧A.䁧hB.晦䁧hC.晦䁧hD.䁧ȧ【答案】Cln푥ȧ䁧푥䁧【解析】解：因为푥ȧȊ䁧푥䁧푥㈠䁧由恒成立，得到푥ȧ푥，分别作出Ȋ푥及Ȋ푥的图象，由图知，当㌳晦时，不符合题意，只需考虑晦的情形，当Ȋ푥与Ȋ푥Ȋ푥푥㈠图象相切于䁧晦时，由导数几何意义，此时Ȋ푥푥ȊȊ，数形结合可知晦；故选C．䀀4.已知不等式푥ln푥䀀䁧䀀，且晦ȧ对任意实数푥㈠晦成立，则的最大值为ȧA.lnB.lnC.lnD.ln【答案】B푥【解析】解：由题意得푥ln푥䀀成立，令푥ȧȊ푥ln푥，则푥ȧȊ푥㈠晦ȧ，푥若㌳晦，푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增，当푥晦时푥ȧ，不合题意若㈠晦，当푥晦䁧ȧ时，푥ȧ㌳晦，푥ȧ单调递减，当푥䁧ȧ时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增， 所以푥ȧ最小值为ȧ所以ȧȊln䀀，䀀ln所以Ȋln㈠晦ȧ令푥ȧȊln푥푥㈠晦ȧ，푥푥则푥ȧȊȊ푥㈠晦ȧ，푥푥푥当푥晦䁧ȧ时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增，当푥䁧ȧ时，푥ȧ㌳晦，푥ȧ单调递减，所以푥ȧȧȊln，所以lnln，䀀即的最大值为ln故选B．t5.若存在正实数x，y使得不等式ln푥푥lnlnt成立，则푥ȊA.B.C.D.【答案】Dt【解析】设푥ȧȊln푥푥，ȧȊlnlnt，由题意可知，푥ȧ푥ȧ쳌䀀，푥푥ȧȊ，ȧȊ，푥当晦㌳푥㌳时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增，当푥㈠时，푥ȧ㌳晦，푥ȧ单调递减，所以푥ȧ在푥Ȋ取得极大值，也是最大值，ȧȊln，当晦㌳㌳时，ȧ㌳晦，ȧ单调递减，当㈠时，ȧ㈠晦，ȧ单调递增，所以ȧ在Ȋ取得极小值，也是最小值，ȧȊln，由于ȧȊȧ即푥ȧ푥Ȋȧ쳌䀀，所以只能푥Ȋ，Ȋ，此时푥Ȋ．故选D．䁧푥晦䁧ȧ，都有푥푥푥푥㈠푥푥푥恒成6.已知函数，若对任意的푥立，则实数k的最大值是ȧA.B.0C.1D.2【答案】B学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：푥，푥晦䁧ȧ，푥푥䁧所以푥푥㈠晦，푥ȧ푥ȧh푥푥ȧȊln푥푥，푥ȧ푥ȧh푥푥ȧ㈠푥푥푥ȧ可化为㌳푥푥푥푥令Ȋ晦䁧䁧，得㌳ln恒成立，푥令Ȋln，Ȋln，当晦䁧时，㌳晦䁧ln㌳晦䁧㌳晦，ȧ递减，当䁧时，㈠晦䁧ln㈠晦䁧㈠晦，ȧ递增，而Ȋ晦，所以晦䁧䁧时，ȧ㈠晦，所以晦，即实数k的最大值是0，故选B．香7.当푥䁧ȧ时，不等式ln푥ȧ푥香晦䁧香R，晦ȧ恒成立，则的最大值为ȧtA.B.2C.D.2ee【答案】C【解析】解：记푥ȧȊln푥ȧ푥香则푥ȧȊ，当㌳晦时，因为푥㈠所以푥ȧ㈠晦，푥所以푥ȧ在区间䁧ȧ上单调递增，푥时，푥ȧ，所以不符合题意：当㈠晦时，令푥ȧȊ晦푥Ȋ，当푥䁧ȧ时푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增当푥䁧ȧ时，푥ȧ㌳晦．푥ȧ单调递减，所以푥ȧmaxȊȧȊln香，所以依题有ln香晦，香ln即香ln，因为㈠晦，所以，记ȧȊln㈠晦ȧ所以ȧȊlnȧlnȊt当晦䁧时，ȧ㈠晦䁧当䁧ȧ㌳晦，所以ȧmaxȊȊ，香t所以Ȋmax故选C．8.设函数푥ȧȊ푥䀀푥的导函数为푥ȧ，若对任意的푥䁧ȧ，不等式푥ȧ푥恒成立，则实数a的最小值为ȧA.B.C.D. 【答案】C【解析】解：函数푥ȧȊ푥ln푥，则푥ȧȊ䀀푥，不等式푥ȧ푥可化为푥ln푥，设푥ȧȊ푥ln푥，푥䁧䁧푥푥푥则푥ȧȊȊ，푥푥所以푥ȧ㌳晦在푥䁧上恒成立，故푥ȧ在푥䁧上单调递减，故푥ȧmaxȊȊ，故，故选C．9.丹麦数学家琴生ܬ䀀䀀ȧ是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数푥ȧ在䁧香ȧ上的导函数为푥，푥在䁧香ȧ上的导函数为푥，푥若在䁧香ȧ上푥㈠晦恒成立，则称函数푥ȧ在䁧香ȧ上为“凹函数”已知푥Ȋln푥푥在晦䁧ȧ푥上为“凹函数”，则实数t的取值范围是A.䁧ȧB.䁧ȧC.䁧ȧD.䁧ȧ【答案】C푥e푥【解析】解：因为푥ȧȊ，푥푥푥所以푥ȧȊe．푥푥푥푥因为푥ȧ在晦䁧ȧ上为“凹函数”，푥所以在晦䁧ȧ上푥ȧȊe㈠晦恒成立，푥푥푥푥푥即㈠푥ȧ．푥푥令푥ȧȊ푥ȧ，푥晦䁧ȧ，푥푥푥푥则푥ȧȊ，푥所以푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递增，在䁧ȧ上单调递减，所以푥ȧ푥ȊȧȊ，故䁧ȧ．故选C．学科网（北京）股份有限公司 10.已知函数푥Ȋln푥，若存在实数x使不等式푥ȧ푥푥香ln成立，则实数香的取值范围为ȧlnA.䁧B.C.D.䁧【答案】C【解析】解：函数푥ȧȊln|푥|，存在实数x使不等式푥ȧ푥푥香䀀成立，即存在实数x使ln|푥|푥푥香䀀成立，故存在实数x使则香푥푥ln|푥|䀀成立，令푥ȧȊ푥푥ln|푥|䀀，则香푥ȧ쳌䀀，푥ȧ푥ȧ当푥㈠晦时，푥ȧȊ푥푥䀀푥䀀，则푥ȧȊ푥Ȋ，푥푥当晦㌳푥㌳时，푥ȧ㌳晦，当푥㈠时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递减，在䁧ȧ上单调递增，故푥ȧ的极小值为ȧȊ䀀，푥ȧ푥ȧ当푥㌳晦时，푥ȧȊ푥푥ln푥ȧ䀀，则푥ȧȊ푥Ȋ，푥푥当푥㌳时，푥ȧ㌳晦，当㌳푥㌳晦时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ在䁧ȧ上单调递减，在䁧晦ȧ上单调递增，故푥ȧ的极小值为ȧȊ，t因为䀀㌳，故푥ȧ쳌䀀ȊȧȊ䀀，t䀀香䀀，即香．故选：C．二、单空题푥晦11.若存在푥晦䁧ȧ，满足ln㈠푥晦，则实数a的取值范围为__________．【答案】䁧ȧ푥【解析】解：令푥ȧȊln，푥ȧȊ푥，则曲线푥ȧ过点䁧晦ȧ，直线푥ȧȊ푥也恒过点䁧晦ȧ， 由图象可知晦时，不满足条件．푥当㈠晦时，若满足条件，只需曲线푥ȧȊln在䁧晦ȧ处的切线斜率小于a即可，也就是㈠ȧȊȊ，所以a的取值范围为䁧ȧ12.已知定义在R上的函数fxȧ的导函数为fxȧ，满足fxȧfxȧ㈠晦，若푥axȧ㈠푥fxȧ恒成立，则实数a的取值范围为__________________．【答案】䁧t푥【解析】解：根据题意设푥Ȋ，因为푥푥㈠晦푥푥ȧ푥ȧ所以푥Ȋ㈠晦，所以푥ȧ为单调递增函数，푥푥푥则变形为푥㈠푥，则不等式转化为푥㈠푥，即푥㈠푥恒成立，即푥푥㈠晦恒成立，㈠晦则，解得㈠．Ȋt㌳晦t故答案为䁧．t13.已知㈠，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为_____．【答案】e【解析】解：．푥令푥Ȋ푥ln푥，푥ȊȊ，푥푥学科网（北京）股份有限公司 푥在上单调递增，㈠，푥䁧䁧푥䁧푥㈠，又푥푥，푥푥푥对于任意的푥䁧恒成立，푥令，푥䁧䁧，可知函数푥ȧ在䁧上单调递增，在䁧上单调递减，当푥Ȋ时，푥取最大值为，e，的最小值为．e故答案为．e푥14.已知函数푥ȧȊsin푥ȧmx在晦䁧h上单调递减，则实数m的最小值是_______．【答案】【解析】解：依题意푥ȧȊcos푥ȧ푥晦在晦䁧h上恒成立，即cos푥ȧ푥在晦䁧h上恒成立，记푥ȧȊcos푥ȧ푥，，，푥ȧ䁧h，tsin푥ȧ㌳晦，푥ȧ在晦䁧h上单调递减，푥ȧ푥Ȋ晦ȧȊcos晦ȧ晦Ȋ．即，故实数m的最小值是．故答案为．三、解答题 15.已知函数푥Ȋ푥ln푥，푥Ȋ푥．ȧ讨论函数Ȋ푥的单调性ȧ若不等式푥푥在푥䁧上恒成立，求实数a的取值范围．푥【答案】解：ȧ函数푥ȧ定义域是晦䁧ȧ，푥ȧȊȊ，푥푥当晦时，푥ȧ㈠晦，函数푥ȧ在晦䁧ȧ单调递增，无减区间；当㌳晦时，函数푥ȧ在晦䁧ȧ单调递增，在䁧ȧ单调递减，ȧ由已知푥䀀푥푥晦在푥恒成立，令푥ȧȊ푥䀀푥푥，푥，푥则푥ȧȊ，易得푥ȧ在䁧ȧ递增，푥푥ȧȧȊ，当晦时，푥ȧ晦，푥ȧ在䁧ȧ递增，所以푥ȧȧȊ晦成立，符合题意．当㈠晦时，ȧȊ㌳晦，且当푥Ȋlnȧ时，푥ȧȊȊ㈠晦，푥푥푥晦䁧ȧ，使푥晦ȧȊ晦，即푥䁧푥晦ȧ时푥ȧ㌳晦，푥ȧ在䁧푥晦ȧ递减，푥ȧ㌳ȧȊ晦，不符合题意．综上得晦．16.已知푥ȧȊ푥푥为自然对数的底数ȧⅠȧ求函数푥ȧ的最大值；Ⅱȧ设푥ȧȊ䀀푥푥푥，若对任意푥晦䁧h，总存在푥晦䁧h使得푥ȧ㌳푥ȧ，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰȧ푥ȧȊ푥푥的导数为푥ȧȊ푥，当푥䁧ȧ时，푥ȧ㈠晦，푥ȧ单调递增；当푥䁧ȧ时，푥ȧ㌳晦，푥ȧ单调递减；故푥ȧ푥ȊȧȊ晦；Ⅱȧ对任意푥晦䁧h，总存在푥晦䁧h，使得푥ȧ㌳푥ȧ等价于푥ȧ㌳푥ȧ푥．由Ⅰȧ可知푥ȧ푥ȊȧȊ晦．问题转化为푥ȧ㌳晦在푥晦䁧h恒成立．学科网（北京）股份有限公司 参变量分离得：㈠䀀푥푥䀀푥Ȋ푥，푥푥䀀푥令푥ȧȊ푥，푥晦䁧h，푥䀀푥푥ȧȊ，由晦㌳푥时，䀀푥㈠晦，得푥ȧ㈠晦，푥即푥ȧ在푥晦䁧h上单增．䀀故㈠푥ȧ푥ȊȧȊ．䀀综上：㌳，䀀即a的取值范围为䁧ȧ．17.已知函数푥ȧȊ푥ln푥푥푥，푥ȧȊ푥푥．ȧ当푥晦䁧ȧ时，푥ȧ晦恒成立，求实数a的取值范围ȧ设函数푥ȧȊ푥ȧ푥ȧ，其中푥ȧ为푥ȧ的导函数，求푥ȧ的最值．푥【答案】解：ȧ因为当푥晦䁧ȧ时，푥ȧ晦恒成立，所以푥푥晦，即恒成立．푥푥푥ȧ푥令푥ȧȊ，则푥ȧȊ，所以푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递减，在䁧ȧ上单调递增，푥푥所以푥ȧminȊȧȊ，所以．ȧ因为푥ȧȊ푥ȧ푥ȧȊln푥푥，所以푥ȧȊ푥因为푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递减，且푥ȧȊ晦．所以当푥晦䁧ȧ时，푥ȧ㈠晦当푥䁧ȧ时，푥ȧ㌳晦所以푥ȧ在晦䁧ȧ上单调递增，在䁧ȧ上单调递减，故F푥ȧmaxȊȧȊ，没有最小值． 学科网（北京）股份有限公司