专题07快速辨别函数周期性与对称性结论1:型的周期为.,则的周期为.例1:定义在上的函数满足.当时,,当时,,则.A.336B.339C.1679D.2013【答案】B【解析】由知函数的周期为6,所以.所以在一个周期内有.所以,故选B.结论2:型:的周期为.,则的周期为.例2:是定义在上的奇函数,对任意的,满足,且当时,,则__________.【答案】6【解析】由已知得,所以函数的周期为2,所以,而,所以.
结论3:型的周期为.,则的周期为.例3:知定义在上的函数满足,若,则________.【答案】2016【解析】由题知,所以原函数为周期函数,且周期为8.所以结论4:型的固期为.,则的周期为.例4:定义在上的奇函数满足,且在上有,则.A.B.C.D.【答案】【解析】由得出的周期为4,所以.故选.
结论5:型的周期为.,则的周期为.例5:定义在上的函数对任意都有,则等于.A.B.C.D.【答案】D【解析】由及所求可联想到周期性,因此考虑,所以是周期为4的周期函数,故,而由已知可得,所以,故选.结论6:型的周期为.,
,则的周期为.例6:已知函数满足,则的值为_______.【答案】1【解析】根据题意,由结论4,直接可以得到,即原函数的周期为4.因为,所以.所以.结论7:型:的周期为.由知,则,两式联立可得:.所以,所以,因此的周期为.例7:已知函数满足,则________.【答案】【解析】令,则,又,所以.令
,则,即,所以,因此,所以,即是以6为周期的周期函数,所以.同一个函数的对称性知识点一:轴对称的图像关于直线对称.推论的图像关于直线对称.推论的图像关于直线对称.推论的图像关于直线对称.知识点二:点对称的图像关于点对称.推论的图像关于点对称.推论的图像关于点对称.推论的图像关于点对称.例1:若函数对任意都有,则以下结论正确的是()A.
B.C.D.【答案】【解析】由对任意都有知图像的对称轴为且函数图像开口向上,且函数在上为增函数,又,,所以,即.故选.例2:函数的定义域为,对定义域中任意的,都有,且当时,,那么当时,的递增区间是().A.B.C.D.【答案】C【解析】由,得函数图像关于直线对称,当时,的递减区间是,由对称性得,当时,的递增区间是,故选.例3:已知定义域为的函数满足,且在区间上单调递增.如果,且,则的值.A.可正可负B.恒大于0C.可能为0D.恒小于0【答案】D【解析】解法一:题目中给了单调区间及自变量不等关系,所求为函数值的关系,从而想到单调性.由
可得,因为,所以,进而将装人了中,所以由可得.下一步需要转化,由知的图像关于对称,所以.代人可得,从而.故选.解法二:本题运用数形结合更便于求解.由知的图像关于对称,令,代人到可得.中心对称的函数对称区间单调性相同,从而可做出草图.而,即的中点位于的左侧,所以比距离远,结合图像便可分析出恒小于0.故选.评注:1.本题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发现条件的自变量关系,与所求函数值关系,而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内.而对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系.2.数形结合的关键点有三个:第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而且是呈“对称”的关系,从而在图像上才能看出的符号;第二个是,进而可知;第三个是,既然是数形结合,则题中条件要尽可能转为图像特点,而确定出中点的位置,从而能够判断出距离中心对称点的远近.例4:已知,则__________.【答案】11【解析】是由平移得到的.因为是奇函数,图像关于原点对称,所以的对称中心为,因此,所以
.例5:已知函数满足,若与图像的交点为,则.A.0B.C.D.【答案】B【解析】由知,的图像关于对称,而也关于对称,所以对于每一组对称点有,所以.故选.两个函数的对称性结论:1.函数与图像关于直线对称.推论1:函数与图像关于直线对称.推论2:函数与图像关于直线对称.推论3:函数与图像关于直线对称.2.函数与图像关于点对称.推论1:函数与图像关于点对称.
推论2:函数与图像关于点对称.推论3:函数与图像关于点对称.例1:已知函数的定义域为,则函数与的图像().A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于直线对称D.关于直线对称【答案】D【解析】令,因为函数与的图像关于直线对称,所以函数与的图像关于直线对称.故选.例2:若且,那么函数与的图像关于.A.原点对称B.直线对称C.轴对称D.轴对称【答案】B【解析】同底的指数函数和对数函数互为反函数,图像关于对称.例3:函数的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线关于轴对称,则.A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的图像关于轴对称的图像的函数解析式为,而的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线的图像关于轴对称,所以的解析式为.故选.
例4:若函数与的图像关于直线对称,且,则.A.B.1C.2D.4【答案】【解析】设是函数的图像上任意一点,它关于直线对称的点的坐标为,由题意知在函数的图像上,所以,解得,即,所以,解得.故选.函数对称性和周期性秒杀大招1.两线对称型:函数关于直线对称,则的周期为.【证明】.2.一线一点对称型:函数关于直线及点对称,则的周期为.【证明】因为,所以3.两点对称型:函数关于点对称,则的周期为.【证明】.例1:已知函数是定义在上的偶函数,且,对任意都有,则
的值为.A.0B.-1C.1D.2【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数,所以可化为,由此得的周期,所以,又有得.故选.例2:函数的定义域为,若与都是奇函数,则.A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数【答案】D【解析】因为与都是奇函数,所以,因此函数关于点及点对称,函数是周期的周期函数.所以,即是奇函数.故选.例3:已知是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,且,则的值为.A.-1B.1C.0D.无法计算【答案】C【解析】由题意,得,因为是定义在上的偶函数,是定义在上的奇函数,所以.因此,所以,因此,即的周期为4.
所以.又,所以.故选.例4:已知定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则__________.【答案】【解析】由题知,且为奇函数,所以的图像关于直线对称且.由知,所以函数是以8为周期的周期函数.又因为在区间上是增函数,所以在区间上也是增函数,大致图像如图所示.那么方程在区间上有四个不同的根.不妨设,由对称性知,所以.例5:已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点,且与都是偶函数,则函数在上的零点个数为.A.404B.804C.806D.402【答案】【解析】因为为偶函数,所以,因此关于轴对称,故为周期函数,且.将划分为,因为关于轴对称,所以.因为,所以中只含有4个零点,而共201组,所以
;在中,含有零点共2个,所以一共有806个零点.达标检测一、单选题1．若把定义域为的函数的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是（）A．B．C．是周期函数D．存在单调递增区间【答案】C【详解】定义域为R的函数的图象沿轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，∴的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如，由，则为奇函数，故选项A错误；由，可得函数图象关于对称，故选项B错误；由时，不存在单调递增区间，故选项D错误；由已知设图象的一条对称抽为直线，一个对称中心为，且，∴，，∴，∴，
∴，∴的一个周期，故选项C正确.故选：C2．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A．2B．-2C．3D．-3【答案】A【详解】因为为奇函数，所以①，将①中的替换为得②，因为为偶函数，所以③，由②③得，则，所以是以4为周期的函数.由④得，，则，所以..故选：A.3．已知函数在实数集上具有下列性质：①直线是函数图象的一条对称轴；②；③当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A
【详解】由②得，是以4为周期的函数，，，，由①直线是函数图象的一条对称轴，，由③可得在单调递减，，.故选：A.4．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，且，则（）．A．B．0C．D．2021【答案】C【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，所以，则，故是周期为4的周期函数．又当时，，所以，
，解得，，故当时，．因为，所以．故选：C.5．已知定义在R上奇函数的图象是连续不断的，满足，且在上单调递增，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以函数的图象关于对称，所以，因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以函数是周期函数，且，所以，，，又是奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.所以由，得，即.故选：A.6．已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，．若，则（）
A．B．C．D．【答案】B【详解】因为定义域为的函数满足图象关于原点对称，所以，又，所以，即，所以，所以，解得,故选：B7．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax+b，若f(3）=1，则f()=（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意有对称中心，有对称轴，则周期，为对称中心，即；，即，解出，.所以，选项B正确.故选：B.
8．若定义域为的奇函数满足，且，则（）A．2B．1C．0D．【答案】D【详解】因为函数为的奇函数，所以，又满足，即，所以，即，所以，即，又，所以，，，故选：D9．已知的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（）A．-2B．2C．0D．-8【答案】A
【详解】的图像关于点对称，所以关于原点对称，为奇函数.由于，所以，所以是周期为的周期函数.所以.故选：A10．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A．2022B．C．3D．【答案】C【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，因为，所以所以，所以是周期为4的周期函数因为，，，所以故选：C11．已知函数是定义在R上的偶函数，对任意的x都有，且．
当，，且时，恒成立，给出下列命题：①；②直线是图象的对称轴；③在上是减函数；④方程在上有6个实根．其中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】令，则，解得．因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，则是周期为6的函数，则，故①正确；因为，所以的图象关于直线对称，因为的周期为6，所以直线是图象的对称轴，故②正确；由题意可得的单调递减区间为，故③错误；在内，的实根为，，故④错误．故选：B.12．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（）A．-2B．0C．2D．4
【答案】C【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，因此有，可得，因为函数是奇函数，所以可得，即有，从而，因此该函数的周期为，当时，，所以，的图象关于直线对称，，，故选：C二、填空题13．定义在上的奇函数满足，且，则________．【答案】1【详解】由题意得，所以，所以函数以8为周期，所以．故答案为：1.14．定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是______.
【答案】12【详解】由知函数的图象关于直线对称，下面证明是一个周期函数，由是R上的奇函数，所以是以4为周期的周期函数.考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数根.在和上，则方程在和上没有实数根.
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根.当时，方程的两实数根之和为2，当时，方程的所有四个实数根之和为.故答案为：1215．已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为___________.【答案】【详解】解：，，即函数的周期是4，且，则函数的对称轴为：，是奇函数，所以也是对称轴，，时，，函数是增函数，作出函数的简图如下：若方程在区间，上
有四个不同的根，，，，则四个根分别关于和对称，不妨设，则，，则，故答案为：．16．设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为___________.【答案】【详解】因为是偶函数，且在区间上严格递减，所以区间上严格递增，又因为的周期为，所以区间上严格递增.又因为，，所以，解得.故答案为：三、解答题
17．设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，都有，且．（1）求、；（2）证明是周期函数；（3）记，求【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【详解】（1）解：因为对，都有，所以，，又因为又∴，；（2）证明：依题意设关于直线对称，故，即，.又由是偶函数知，.∴，.将上式中以代换得，这表明是上的周期函数，且是它的一个周期。（3）解：由（1）知，∵
∴，又因为的一个周期是，∴，∴，因此∴.18．已知函数是上的偶函数.（1）求a的值；（2）若对任意恒成立，求b的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）根据题意为偶函数对任意的都有即，，（2）对任意恒成立即，令，，即对任意恒成立令（）设，则
，，，在上是增函数，，即b的取值范围是.19．已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）当，时，．当，时，，（3）.【详解】证明：（1）因为，令取得，所以，
所以，2是函数的周期．解：（2）当，时，，，则，又，即，解得．所以，当，时，．所以，因为的周期为2，所以当，时，，（3）由（2）作出函数的图象，则方程解的个数：就是函数的图象与直线的交点个数．若，则都是方程的解，不合题意．若，则是方程的解．要使方程恰好有20个解，在区间，上，有9个周期，每个周期有2个解，在区间，上有且仅有一个解．则解得，．若，同理可得．综上，．
20．已知函数是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线对称.（1）求的值；（2）证明:函数是周期函数；（3）若求当时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.【答案】（1）=0；（2）证明见解析；（3），，部分图象见解析.【详解】(1)因为R上的奇函数，则，都有，令，则，所以=0；(2)因为R上的奇函数，则，都有，又的图象关于直线对称，即，都有，于是用代得，，从而得，即，所以是周期函数，4是其周期；(3)显然，时，，当时，，，于是有时，，当时，，则，
则有当时，，由(2)知，当，时，，，当，时，，，于是得，，所以函数的解析式为，，函数的部分图象如图：21．定义在R上的函数f（x）同时满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且当2≤x≤6时，（Ⅰ）求函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）m＝4，n＝30．【详解】（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）∵函数的周期是4，∴f（2）＝f（6），
即，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）1+n＝31，解得n＝30．故答案为：m＝4，n＝30．22．已知函数是定义在实数上的偶函数，且，当，时，，函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：对任意，都有；（3）在同一坐标系中作出与的大致图象并判断其交点的个数．【答案】（1）为偶函数；（2）证明见解析；（3）作图见解析，有8个交点.【详解】（1）判断结论：为偶函数．以下证明．证明：，．对于任意的，，，，函数为偶函数；（2）函数是定义在实数上的偶函数，
，，．故原命题得证．（3），的图象过点，，关于轴对称，如图可知：与大致有8个交点．
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