2022年高考数学重点必备解题方法11 指数与对数比较大小方法全归纳(解析版)

专题11指数与对数比较大小方法全归纳内容导图一、基础方法方法一:通过图像单调性对于同底数的指数或者同底数的对数比较大小,可通过指数函数或对数函数的单调性进行判断.此方法具有一定的限制条件,即同底数.但此方法也是比较大小的基础.指数函数与对数函数的图像如下图所示: 方法二:运用图像规律指数函数图像规律:观察指数第一象限内的图像,逆时针旋转,指数函数的底数由小变大.对数函数图像规律:观察对数第一象限内的图像,逆时针旋转,对数函数的底数由大变小.注:此方法适用于不同底,同指数或同真数的大小比较.图像规律如下图所示:方法三:通过媒介比较将指数或对数值与作为中间量的,,等一些特殊数值作比较,从而确定指数或对数值的范围,指数常跟做比较,对数常跟做比较.也可根据题意与做比较.例1:设,,,则有()A.B.C.D. 【答案】【解析】,,方法四:特殊值牢记部分特殊的指数和对数值,对于比较指数和对数值的大小非常有帮助.指数特殊值:对数特殊值:例2:已知,则有()A.B.C.D.【答案】【解析】本题需要通过构造函数比较大小,也可以通过牢记对数特殊值快速解决大小关系,,,,例3:已知,则有()A.B.C.D.【答案】 【解析】一、进阶方法方法一:对数等比定理(特别当时,)证明:因,所以即.例4:若正数,满足,则____,_____.【答案】【解析】因为正数,满足,所以,所以,解得.故答案为.例5:已知,且,则=______.【答案】 【解析】因为正数,满足,所以,.所以,故.故答案为.方法二:同步升(降)次法根据可知,.注意:一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中,底数真数次方一起同升同降.例6:设,则()A.B.C.D.【答案】【解析】因为,所以,又,故,即,故选.方法三:去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系的时候,需要将对数进行分离常数再比较.例如:.例7:设,则、、的大小关系是()A.B.C.D. 【答案】【解析】由显然,又由于,故,故选.方法四:构造函数比较大小如图,图像的性质,有以下结论:(1)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当时,取得最大值;(2)极大值左偏,且;(3)关于与,当时,;当时,.口诀:大指小底.(大于看指数大,小于看底数大).证明:(1)函数的定义域为,当时,,故在上单调递增,在上单调递减;(2),注意:只能比较,或者,之类属于的左边或者右边,涉及左右互换.比较与,即比较与的大小,同除以得到与,根据函数的单调性即可判断;(3)关于函数和函数比大小问题,都可以按照构造对数来比较,例如在比较,大小时,即比较大小,比较时,即构造,,即比较 大小.例8:设、、为正数,且,则()A.B.C.D.【答案】【解析】因为、、为正数,令,由得:,所以.又,且故,即,故选.例9:利用函数的性质比较的大小.【答案】见解析【解析】解法一:,作出的图像,由图像知:,所以.解法二:三个数取对数得,即比较大小,由于函数在区间上单调递减,故,所以.例10:若,且,则()A.B.C.D. 【答案】【解析】令,,,,由于故,故选.方法五:糖水不等式比较对数大小定理:若,则一定有,或者.通俗理解就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜.证明:,.在对数比大小中,遇到底数和真数成等差数列类型的,可以采用糖水不等式放缩法.例11:比较和大小.【答案】见解析【解析】根据糖水不等式,只需令,即,显然,故.注:需要考虑为什么令,因为,这样两个数的分母就相同,更便于比较.例12:利用对数函数的性质比较,,的大小.【答案】见解析 【解析】因为,所以只需比较与的大小即可,又因为,所以,所以.例13:比较和的大小.【答案】见解析【解析】由,故例14:比较和的大小【答案】见解析【解析】由于,放缩不对,故需要将底数和真数同时放大二次方,,故例15:比较与的大小. 【答案】见解析【解析】先换成正数,,,故.达标训练 1.记,则,,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】【解析】根据大指小底原理,,再根据指数函数原理,故.故选.2.设,,均大于1,且,令,则,,的大小关系是()A.B.C.D.【答案】【解析】因为,所以,因为,,均大于1,所以,则,即,取对数得,,所以.故选D.3.已知正实数,,满足,则,,满足()A.B.C.D.【答案】【解析】根据对数等比定理可得.故选.4.设,则,,三者的大小关系为()A.B. C.D.【答案】【解析】由,,又由.故选.5.正数,满足,则的值是A.B.C.D.【答案】【解析】等式全部减1,得,则,由于,据对数等比定理可得,即.故选.6.若,则实数,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】【解析】由,根据性质可得.故选B.7.已知,则,,的大小关系为()A.B.C.D. 【答案】【解析】由,故故选.8.已知,则,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】【解析】由,,故故选.9.已知,则()A.B.C.D.【答案】【解析】设,可得函数在内单调递增,所以,即,化为,所以,所以.故选B.10.已知,则()A.B.C.D.【答案】【解析】因为,所以,即,.根据函数可得,函数在内单调递减,,综上可得.故选D. 11.若正数,满足,则等于()A.18B.36C.72D.144【答案】【解析】正数,满足,所以,所以,则72.故选C.12.已知函数,若存在三个不相等的正数,,使得,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】【解析】根据题意可知方程有三个不相等的正实根,,,作出函数的图像,当时,,此时,当时,,此时,根据图像可得,即的取值范围是.故选D.