2022年高考数学重点必备解题方法10赋值与巧设特殊函数解决抽象函数问题(原卷版)

专题10赋值与巧设特殊函数解决抽象函数问题内容导图一、赋值法应用策略我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数.这种函数表现形式的抽象性,使得直接求解析式比较难.解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法,即赋予恰当的数值(赋值法)或巧设特殊函数模型,经过恰当的运算和推理加以解决.1.赋值情况 并不是所有抽象函数问题都可以通过赋值法来解决,当函数解析式中同时出现和以及,,等双变量时,或者题干中给出对于任意或都满足题意时,可以考虑使用特值法.2.赋值思路对于赋值的方法,更多考虑,,,,等具体数值.当题中出现时,可考虑令,然后通过的值计算,推理.当题中出现时,可考虑令,然后通过的值计算,推理.当要确定抽象函数的周期时,可换为,推理得到.注:并非所有题型都可通过固定的赋值方式解决,具体问题具体分析,题型灵活多变,赋值的方式也不尽相同.以上的赋值思路仅供参考.二、赋值法题型汇总题型一:判断函数奇偶性例1:若对于任意实数,均成立,且不恒为0,请判断函数的奇偶性.例2:已知函数为非零函数,若有,试判断函数的奇偶性. 题型二:判断函数的单调性例3:函数,当时,,且对任何实数,恒有,试判断函数的单调性.题型三:判断函数周期例4:函数,对任何实数恒有,且存在常数,使,求证:为周期函数.题型四:求函数的解析式 例5:设,函数满足,求函数的解析式.题型五:求函数的值域例6:函数为增函数,且满足,求函数的值域.例7:若对常数和实数,等式恒成立,求证:函数是周期函数. 三、抽象函数与特殊函数模型的对应抽象函数具有的性质特殊函数模型正比例函数幂函数指数函数对数函数正弦函数余弦函数正切函数例1:已知对任意的非负实数,都成立,且,则________. 例2:若定义在R上的函数满足:对任意有,则下列说法一定正确的是（）A.为奇函数B.为偶函数c.为奇函数D.偶函数例3:已知是定义在上不恒为零的函数,对于任意的,都有成立.数列满足,且则数列的通项公式______.达标训练1．设函数满足且对任意都有则f（2020）=（）A．0B．1C．2020D．20212．对任意整数、函数满足：，若，则（）A．B．C．D．3.已知函数满足且,，则　　A．0B．1C．D．5 3．满足对任意的实数、都有，且，（）．A．B．C．D．4.已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都满足，则　　A．且为偶函数B．且为奇函数C．为增函数且为奇函数D．为增函数且为偶函数5．函数的定义域为，且对于定义域内的任意x，y都有，且f(2)=1，则的值为（）A．-2B．C．D．26.已知是定义在上的单调增函数，且满足，，当时,的取值范围是　　.A．，B．C．，D．7.已知定义在上的函数满足：,,,且，则　　A．4B．5C．6D．78．已知函数满足对恒成立，且，则（）A．1010B．C．1011D． 9.（多选）定义在上的函数满足,当时,,则函数满足　　A．B．为奇函数C．在区间，上有最小值D．的解集为10．定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）0，y>0，都有，当x>1时，有f（x）>0（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（4）=2，解不等式.