2022年高考数学重点必备解题方法13 函数中的隐圆与隐距离问题(原卷版)

专题13函数中的隐圆与隐距离问题内容导图一、隐半圆类型隐半圆常常出现的结构:(1);(2).隐半圆的结构特点：根式下为二次代数式,且二次项系数为.如表示以原点为圆心,|a|为半径的圆的上半圆,表示以为圆心,|a|为半径的圆的上半圆,必要的时候可以进行三角换元,上的任意一点可以表示为上的任意一点可以表示为,此时的范围为. 例1:函数的最小值为________.例2:若直线与曲线有两个公共点,则的取值范围是___________.例3:若方程仅有一解,则实数的取值范围是_________.例4:记,则的最大值为()A.4B.C.3D.例5:已知函数,若,则的取值范围是() A.B.C.D.例6:已知正实数,满足,则的最小值是________.二、二次函数类型形如模型,可以通过换元转化为二次函数的类型来处理.这种类型的特点就是根号下的式子和根号外式子相似,这样换元构造一个二次函数.例1:函数的最小值是()A.3B.4C.5D.6例2:已知函数的值域为,则实数的值为______. 三、隐距离问题隐距离问题常常出现的结构如下:1.表示轴上的一点到点的距离.2.表示轴上的一点到点和点的距离之和.3.表示轴上的一点到点和点的距离之差.4.表示:当时,轴上的一点到点和点的距离之和,当时,轴上的一点到点和点的距离之差,显然当时,距离之差无限靠近.例1:求函数的最小值.例2:已知函数,求的最大值及相应的值.例3:函数的值域为()A.B.C.D.四、距离之差定理已知为直线外的两点,点点在直线上的射影为点点,点在直线上,如图1和图2所示: 图1图2(1),当且仅当、、三点共线时等号成立.(2)当时,记为,当在无穷远处时,根据极限原理,距离之差(3)同理当时,记为,当在无穷远处时,距离之差综上可得:.例1:求的最大值. 达标训练1.函数的值域为()A.B.C.D.2.函数的值域是()A.B.C.[0,1]D.3.函数的值域是()A.B.[1,5]C.D.4.若直线与函数的图像恰有3个不同的交点,则的取值范围为A.B.C.D. 5.方程的实根个数为()A.4B.3C.2D.16.设,则的值域为()A.B.C.D.7.已知点是抛物线上的动点,则的最小值为()A.3B.4C.5D.68.若函数存在零点,则实数的取值范围是_______.9.若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_______.10.若曲线与直线始终有交点,则的取值范围是________.若有一个交点,则的取值范围是__________.若有两个交点，则的取值范围是__________.11.函数的值域为________.12.已知,则二元函数的最小值是_______. 13.函数的最大值为________.14.过点直线与曲线交于,两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率等于______.15.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是______.