新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：9.2 直线的交点坐标与距离公式

第二节　直线的交点坐标与距离公式 课前·基础巩固课堂·题型讲解高考·命题预测 课前·基础巩固 【教材回扣】1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行________k1与k2都不存在垂直________k1与k2一个为零，另一个不存在k1＝k2k1k2＝－1 2.两条直线的交点有唯一解无解有无数解 3．三种距离三种距离条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝________________________点到直线的距离P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为dd＝两平行线间的距离直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为dd＝ 【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．当直线l1和l2斜率都存在时，则k1＝k2⇒l1∥l2.()2．如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()3．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.()4．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()×××√ 题组二教材改编1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为()A．3x＋4y－5＝0B．3x＋4y＋5＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x－4y－5＝0解析：设所求对称直线上一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3x＋4y＋5＝0.故选B答案：B 2．经过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为()A．4x－3y＋6＝0B．4x－3y－6＝0C．3x－4y＋6＝0D．3x－4y－6＝0解析：解方程组解得，即交点坐标为(3，2)，又与直线4x－3y－7＝0平行，∴所求直线的斜率为.故所求直线的方程为：y－2＝(x－3)，即4x－3y－6＝0故选B.答案：B 3．已知P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)三点，且|PQ|＝|PM|，则a＝________．解析：由两点间的距离公式得＝解得a＝－.答案：a＝－ 题组三易错自纠1．平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是()A．B．2C．D．解析：直线6x＋8y＋2＝0化为3x＋4y＋1＝0，所以两条平行线之间的距离为＝2.故选B.答案：B 2．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________．解析：由题意知：＝≠，解得：a＝1.答案：1 3．已知直线(m＋1)x＋(2m－1)y＝3与(3m－1)x－(2m2－11m＋5)y＝5平行，则实数m的值为________．解析：当m≠时，＝≠，解得m＝－2或m＝3.当m＝时，两条直线都垂直于x轴，也符合条件．故m＝或m＝－2或m＝3.答案：或－2或3 课堂·题型讲解 题型一　两直线的位置关系[例1](1)[2021·山东聊城模拟]已知直线l1：(a－2)x＋ay＋3＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，其中a∈R，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意，直线l1：(a－2)x＋ay＋3＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，当a＝－1时，l1：－3x－y＋3＝0，l2：x－3y＋4＝0，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，所以k1＝－3，k2＝，k1·k2＝－1，即l1⊥l2，故充分性成立；当l1⊥l2时，可得(a－2)×1＋a(a－2)＝(a－2)(a＋1)＝0，解得a＝－1或a＝2，故必要性不成立．所以“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.答案：A (2)(多选题)若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m的值等于()A．－1B．0C．1D．3解析：当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0，3x＝0，此时两条直线不平行；当m≠0时，由于l1∥l2，则＝，解得m＝－1或3，经验证满足条件，综上，m＝－1或3.答案：AD (3)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________.答案：4x－3y＋9＝0 解析：法一：由方程组解得即交点为(－)，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝.由点斜式得所求直线方程为y－＝(x＋)．即4x－3y＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，由方程组可解得交点为(－)，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0.所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 类题通法1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 巩固训练1：(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＝2时，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1.但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立．故选C.答案：C (2)已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A．7B．9C．11D．－7解析：由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.答案：A (3)已知直线l过点A(－2，1)，且与直线2x－y＋3＝0平行，则直线l的方程是____________．解析：设与直线2x－y＋3＝0平行的直线方程为2x－y＋m＝0(m≠3)，则有2×(－2)－1＋m＝0，解得m＝5，所以直线l的方程是2x－y＋5＝0.答案：2x－y＋5＝0 题型二　两直线的交点问题[例2]已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．解析：由方程组解得∴交点坐标为()．又∵交点位于第一象限，∴解得－＜k＜.答案：(－) 类题通法把两条直线的方程组成方程组，解出两条直线的交点坐标，再根据其它条件解答． 巩固训练2：若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是()A．－B．C．－D．解析：由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得M(＋1，1)，N()．又MN的中点是P(1，－1)，∴解得k＝－.故选A.答案：A 题型三　距离问题高频考点[例3](1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为()A．B．4C．D．2解析：若l1∥l2，则1×3－a(a－2)＝0，解得a＝－1或3.经检验a＝3时，两条直线重合，舍去．所以a＝－1，此时有l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0.所以l1与l2之间的距离d＝＝.故选C.答案：C (2)已知曲线y＝在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2，则设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.答案：B (3)已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________．解析：由题意，得|AB|＝＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．答案： 类题通法距离问题的解答策略(1)求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离问题．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定系数法，若待定系数是斜率，必须讨论斜率是否存在．(3)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等． 巩固训练3：(1)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)解析：设P(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．答案：C (2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．B．C．D．解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.故选C.答案：C (3)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点P到直线的距离为＝，又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10].答案：[0，10] 题型四　对称问题[例4](1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0 (2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________．解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝0 (3)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是____________．解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由得由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.答案：x－2y＋3＝0 类题通法对称问题的解法关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a，2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1，3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2，2)． 巩固训练4：已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1，2)的对称直线． 解析：(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点P′(x′，y′)，因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，所以3×＋3＝0.②由①②得把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，所以点P(4，5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2，7)． (2)用(1)中的③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)，关于(1，2)的对称点M′(x′，y′)，所以＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，所以M′(2，1)．l关于(1，2)的对称直线平行于l，所以k＝3，所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0. 高考·命题预测 [预测1]核心素养——直观想象、数学运算已知曲线y＝在点P(1，4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为，则直线l的方程为________．解析：y′＝－，所以曲线y＝在点P(1，4)处的切线的斜率k＝－＝－4，则切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.所以可设直线l的方程为4x＋y＋C＝0，由＝，得C＝9或C＝－25，所以所求直线方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.答案：4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0 [预测2]新题型——一题两空已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．解析：∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1，联立方程易知x＝3，y＝3，∴P(3，3)．答案：1(3，3) 状元笔记活用直线系方程直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)． 一、相交直线系方程[典例1](一题多解)已知两条直线l1:x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【解析】法一　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)，因为k3＝，所以直线l的斜率k＝－，方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.法二　设所求直线l的方程为：4x＋3y＋c＝0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.法三　设所求直线l的方程为：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 二、平行直线系方程[典例2]已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程．【解析】设直线l1的方程为：x－3y＋c＝0(c≠6)，则令y＝0，得x＝－c；令x＝0，得y＝，依照题意有：×|－c|×||＝8，c＝±4，所以l1的方程是：x－3y±4＝0. [典例3](一题多解)已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．【解析】法一　设存在直线l：＝1，则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3.故l的方程为：－＝1，即3x－4y－12＝0.法二　根据平行直线系方程可设直线l为：3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线l在两坐标轴上截距分别对应的是－，由－＝1，知c＝－12.故直线l的方程为：3x－4y－12＝0. 三、垂直直线系方程[典例4]求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 四、直线系方程的应用[典例5]求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程．【解析】设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得＝，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝或λ＝，所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.