专题十六直线与圆第I卷（选择题）一、单选题1．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点，若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意当与垂直时，的值最小，进而可得，再根据圆与圆外切可得，根据圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出.的值.【详解】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得，故选:B2．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项.
【详解】圆的标准方程为，半径，当圆心到直线的距离时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有，解得，即的最大值为，故选：C.3．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（）A．4B．C．D．3【答案】A【分析】根据直线是圆的对称轴，则圆心在直线l上，求得，由过点作圆C的一条切线，切点为B，利用勾股定理即可求得.【详解】由方程得，圆心为，因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，则，所以.故选：A．4．设直线系，对于下列四个命题：（1）M中所有直线均经过一个定点；（2）存在定点P不在M中的任一条直线上；（3）对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；（4）M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】
由点到直线系中每条直线的距离均为1，则直线系表示圆的切线的集合，然后结合题意考查所给的四个命题是否正确即可.【详解】因为点到直线系中每条直线的距离直线系表示圆的切线的集合，(1)由于直线系表示圆的所有切线,其中存在两条切线平行,M中所有直线均经过一个定点不可能，故(1)不正确(2)由圆的切线的集合，则在M中的任一条直线不过圆心所以存在定点P不在M中的任一条直线上，故（2）正确.(3)由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故(3)正确；(4)如图所示，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故(4)不正确．故选：B5．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（）A．2B．C．2D．1【答案】C【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.6．已知圆：交直线于，两点，则对于，线段长度的最小值为（）A．1B．C．D．2【答案】C【分析】由题意圆的圆心在单位圆上，求出点到直线的距离的最大值，根据圆的弦长，可得答案.【详解】解：由圆：，知该圆的半径，圆心在单位圆上，∵原点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为，由可知，当取最大值时，线段长度的最小值为，故选：C．
7．过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A．B．C．D．【答案】B【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，从而确定直线斜率，用含的式子表示出三角形的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率的值．【详解】解：由，得曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为，若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合则直线的方程为：即则圆心到直线的距离直线被半圆所截得的弦长为，
令则当，即时有最大值为此时又．故选：．8．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【答案】A【分析】由直线与圆相切可构造方程求得；分别在和两种情况下，利用通过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系.【详解】由圆方程知其圆心，半径为，直线与圆相切，，解得：，由圆方程知其圆心，半径，圆心到直线距离；当时，，即，此时圆与直线相交；当时，，即，
此时圆与直线相交；综上所述：圆与直线相交.故选：A.9．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.【详解】∵圆，∴圆心，半径，∴圆心到直线的距离，∴圆上的点到直线的距离最大值为，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.10．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.【详解】设所求直线l方程为：，因为直线l与；距离相等，所以，解得，所以所求直线方程为：，故选：D.
11．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（）A．无论，，如何，总有唯一交点B．存在，，使之有无穷多个交点C．无论，，如何，总是无交点D．存在，，使之无交点【答案】A【分析】根据在直线可得，从而可得有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，所以即，故既在直线上，也在直线上.因为与是两个不同的点，故、不重合，故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A.12．直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求出原直线的倾斜角度数，再表示出旋转后度数，求余弦值即可．【详解】设的倾斜角为，则，∴，由题意知，∴
.故选：C．二、多选题13．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】先分析当直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意；再分析直线的斜率存在时，先求出的坐标，解方程求出的值，综合即得解.【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选：BC.14．设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（）A．直线过定点(1，3)B．直线与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相交D．|PA|+|PB|最大值为5【答案】ABC【分析】根据直线过定点的求法求出定点坐标即可判断A；由题意可知当时所得弦长最短，由求出进而得到的方程，结合到直线的距离公式和勾股定理求出弦长即可判断B；当时得到，P在圆C外；当时，根据两直线方程消去m得到点P的轨迹方程，比较圆心距和两圆半径之和的大小即可判断C；由题可证，设可得，进而得到，结合三角函数的值域即可判断D.【详解】A：由，有，所以直线过的定点为，故A正确；B：由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为：，故B正确；C：当时，，则点，此时点P在圆C外；当时，由直线得，代入直线中得点P的方程为圆，得，半径为，所以圆心距，所以两圆相交.故C正确；D：由，当时，，有，当时，，，则，所以，
又点P是两直线的交点，所以，所以，设，则，因为，所以，所以，故D错误.故选：AB15．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相交，则值可能为（）A．0B．C．1D．【答案】BCD【分析】写出已知圆的圆心，再由给定条件探求出圆心到直线距离必小于2方可得解.【详解】圆的方程为，圆心为，由题意可知到的距离应小于2，即，解得，显然，1，均符合要求.故选：BCD16．已知直线与圆交于，两点，则（）A．线段的长度为定值B．圆上总有4个点到的距离为2C．线段的中点轨迹方程为D．直线的倾斜角为【答案】AC【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角，
【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确；对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误；对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确；对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误，故选：AC17．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（）A．圆的方程为B．直线的方程为C．均与圆相切D．四边形的面积为【答案】AC【分析】A．将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程并判断；B．联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；C．根据切线的定义进行判断；D．根据结合线段长度求解出结果并判断.
【详解】解：由圆，得，则圆心，线段的中点坐标为，则以为直径的圆的方程为，整理得：，即圆的方程为，故A正确；联立，两式作差可得：，即直线的方程为，故B错误；∵在以为直径的圆上，∴，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确；∵，且，∴，∴四边形的面积为，故D错误．故选：AC．18．已知点在圆上，点、，则（）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.19．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（）A．的最小值为B．到的距离的最大值为C．的最小值为D．的最大值为【答案】ABD【分析】对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得
，进而可求出其最小值；对于D，当，，三点共线时，最大【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；设，则，所以，所以的最小值为，所以C错误；当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题20．设直线与圆，则下列结论正确的为（）A．与可能相离B．不可能将的周长平分C．当时，被截得的弦长为D．被截得的最短弦长为【答案】BD【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】
对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误；对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，直线被截得的弦长为，C选项错误；对于D选项，圆心到直线的距离为，所以，直线被截得的弦长为，D选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.21．已知圆，圆，则（）A．若圆与圆无公共点，则B．当时，两圆公共弦长所在直线方程为C．当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等【答案】BCD【分析】根据两圆无公共点可得，圆内含或外离，从而求出的范围，判断A错；由两圆的方程作差，即可得出公共弦所在直线方程，判断B正确；由，先判断两圆位置关系，进而可得范围，判断C正确；根据两点间的距离公式，分别求出直线上任意一点到两圆心的距离，进而求出切线长，即可判断D正确.【详解】由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为
，半径为；则圆心距为；A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，即，故C选项正确；D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；记直线上任意一点为，则，所以，，因此切线长分别为，，即，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于熟记圆与圆位置关系、公共弦所在直线方程的求法，以及圆的切线长的求法等，结合题中条件，即可求解.22．已知曲线C的方程为，圆，则（）A．C表示一条直线B．当时，C与圆M有3个公共点C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是【答案】BC
【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可【详解】由，得，即，则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；当时，圆与直线相切，与直线有两个公共点，所以公共点的个数为3，所以D错误，故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题第II卷（非选择题）三、填空题23．已知为圆：上第二象限的一动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，且直线，的斜率之和为0，则直线的斜率是________．【答案】【分析】设直线方程为，则直线方程为，然后将两直线方程分别与圆方程联立方程组求出两点的坐标，从而可求出直线的斜率【详解】解：设直线方程为，则直线方程为，
由，得，，所以，因为是直线与圆的交点的横坐标之一，所以，，由得，，所以，因为是直线与圆的交点的横坐标之一，所以，则所以，，所以直线的斜率为，因为，所以故答案为：24．设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．
【答案】1【分析】设圆的圆心为，由题意可知，当与直线垂直时，取得最大值，然后利用点到直线的距离公式求出的最小值，因为为，可得，进而可求出圆的半径【详解】设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，因为为，所以，点到直线的距离为，在中，，故答案为：125．已知实数、满足方程．求：的取值范围为_______；的最小值为________；的取值范围为__________.【答案】【分析】设，可得出直线与圆有公共点，可求得的取值范围；设，可得出直线与圆有公共点，可求得的取值范围；设，可得出圆与圆有公共点，可求得的取值范围，即可求得的取值范围.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.设，可得，则直线与圆有公共点，则，解得，则的取值范围为；设，可得，则直线与圆有公共点，
则，解得，则的最小值为；设，由于，则原点在圆外，因为圆与圆有公共点，圆心距为，故，解得，故.即的取值范围为.故答案为：；；.26．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.【答案】【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，根据题意可知两圆的圆心距为，
所以的最大值为，故答案为：27．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是_______.【答案】.【分析】先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足有公共点，有三种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径求得b，另一种是与半圆相交但只有一个交点，第三种情况是直线与曲线有两个交点，根据图形可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围.【详解】因为曲线表示圆的下半圆，若直线与曲线有公共点，根据图象可知：当直线过时满足条件，此时，当直线与半圆相切时，由圆心到直线距离：，此时，（舍去），结合图形可知，当直线与曲线有公共点时，.故答案为：.28．已知圆的方程为：，直线：．若直线与圆和圆均相切于同一点，且圆经过点，则圆的标准方程为____________．
【答案】【分析】由圆与直线相切得，直线与圆的方程联立求得切点坐标，设，由两点间的距离公式可得的圆心坐标和半径，从而得到答案.【详解】方程为：，圆心，半径为，因为圆与直线：相切，所以，解得，所以直线：，由得，得切点为，设，所以①，且②，由①②得，所以，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为.故答案为：.29．一条光线从点射出，经x轴反射，与圆相切，则反射光线所在直线的一般式方程是___________.【答案】或.【分析】写出关于轴的对称点坐标，设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解出直线方程中的参数，从而直线方程可求，转化为一般式方程即为结果.【详解】因为关于的轴的对称点为，又反射光线一定经过点，设反射光线所在直线的方程为，即，
因为反射光线与相切，所以，解得或，所以反射光线所在直线的一般式方程为：或，故答案为：或.30．在圆上有且仅有三个点到直线的距离为2，则a的值为__________．【答案】或【分析】根据圆的半径为3，将问题转化为圆心到直线的距离为1，解方程即可得答案；【详解】圆的半径为3，圆上有且仅有三个点到直线的距离为2，圆心到直线的距离为1，或，故答案为：或.31．已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.【答案】【分析】本题可设圆的方程为，然后两圆的方程相减，得出公共弦所在直线的方程为，最后根据题意得出，通过计算即可得出结果.【详解】设圆的圆心为，半径为，则圆的方程为，即，因为圆，
所以与的公共弦所在直线的方程为，即，因为与的公共弦所在直线的方程为，所以，解得，，故圆的方程为，故答案为：.32．若点P在直线上，点Q在直线上，线段的中点为，且，则的取值范围是____________．【答案】【分析】先求出的轨迹方程，结合可求.【详解】设，则，两式相加可得，由于的中点为,所以，且满足不等式，故的轨迹是一条线段，表示点与原点连线的斜率，
由图可知，或，由，解得，由，解得，所以，，所以或.所以的取值范围是故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线的斜率，解题的关键是求出的轨迹，将问题转化为或，考查了数形结合的思想以及数学运算能力.33．已知圆，是圆上的任意一点，为直线上任意一点，，则的最小值为________．【答案】【分析】
根据直线与圆的位置关系，由是关于的对称点，则，由此知共线的最小，即可求最小值.【详解】由题意，，如下图示，是关于的对称点，，∴，要使的最小，即共线即可，且最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据直线与圆的位置关系，应用将军饮马模型求线段长度之和的最小值.34．已知直线与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】可得为等腰直角三角形时，点C到直线的距离，要使为钝角三角形，需满足.【详解】圆：化为，
故圆心，半径为2，当为等腰直角三角形时，点C到直线的距离，解得，为钝角三角形，，当时，，则可得的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出要使为钝角三角形，需满足点C到直线的距离.35．直线被圆截得的弦长最小值是___________.【答案】【分析】由题知直线经过定点且在圆内,故圆心到直线的最大距离为,进而根据垂径定理求解即可.【详解】因为直线经过定点，定点在圆内，所以圆心到直线的最大距离为，所以，所求弦长的最小值为故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系求弦长问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据直线经过定点且在圆内得圆心到直线的最大距离为，进而求得弦长的最小值.36．已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【分析】
因为相切，圆心到直线的距离等于半径，再将点代入圆方程解出，进而求得中点，则即可求解．【详解】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则所以得，所以，，所以直线方程为，圆的方程为，所以，，的中点，则因为，所以故，所以的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用方程组求解参数，转化求解．37．在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________．【答案】【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围.【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则；圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，即，解得：或，的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查根据圆上点到直线距离为定值的点的个数求解参数范围问题，解题关键是能够根据圆上点到直线距离为，确定圆心到直线距离与满足.38．已知直线与圆交于，两点，若则______．【答案】【分析】直线和圆相交，则弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，利用勾股定理进行求解得：圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式得关于的方程，从而得解.【详解】可化，又，所以圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，解得，因为，故．故答案为：【点睛】抓住直线和圆相交的特点来求解，注意勾股定理，点到直线距离公式的准确应用.39．已知直线与圆相交于、两点，若，则的值为___________.
【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程，计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理列不等式可求得的值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径长为，圆心到直线的距离为，由题意可得，则，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用直线截圆所得弦长求参数，解题的关键就是利用弦长的一半、弦心距以及圆的半径满足勾股定理列等式求解.40．已知点，，若圆上存在不同的两点，，使得，且，则的取值范围是________．【答案】【分析】结合题意转化为两圆的位置关系，两圆相交，由圆心距的关系列出不等式，进而求解即可.【详解】圆，圆心为,半径，因为，所以点P在以线段AB为直径的圆上，圆心坐标为，即，半径，因为圆上存在不同的两点，，使得，且，所以两圆相交，则圆心距，所以，即，解得．故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题．41．已知直线与圆交于点A，B，则_________．【答案】【分析】利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得，由此求得.【详解】设点D为圆中弦的中点，令，依题意可知，，，由于为锐角，所以.故答案为：【点睛】
，是直线方程点斜式，其中为斜率，斜率是倾斜角的正切值.42．已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则____________．【答案】【分析】先由直线的垂直关系求得直线l的方程，再利用几何法求得弦长得答案．【详解】因为过点的直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为：，把圆的方程化为标准方程得：，∴圆心坐标为，半径，∴圆心到直线的距离，则，故答案为：.【点睛】方法点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，相交时的弦长问题，属于基础题；把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由求出的与半径，根据垂径定理与勾股定理求出的一半，即可得到的长．四、双空题43．已知圆C与y轴相切于，与x轴正半轴相交于A，B两点，且，则圆C的方程为________．直线被圆C所截得弦长最短时的k的值________．【答案】；.【分析】依题意求得半径和圆心，即可求得圆的方程；显然，直线恒过圆内一定点，当直线与垂直时被圆截得的弦长最短.由的斜率可得直线的斜率.
【详解】依题意设圆的方程为（），由可得，则，所以圆的方程为.显然，直线恒过圆内一定点，易得当直线与垂直时被圆截得的弦长最短.因为的斜率为，所以，直线的斜率为.故答案为：①；②.【点睛】结论点睛：若动直线恒过圆内部一定点，则当直线经过圆心时，被圆截得的弦长最大（即直径）；当直线时，被圆截得的弦长最小.44．在平面直角坐标系中，圆，直线与圆交于，两点，是线段的中点，若点的横坐标为1，则______；者变化，则点的轨迹长度为______．【答案】【分析】(1)由知，联立圆和直线的方程得出一元二次方程，结合韦达定理表示跟与系数的关系，得出，结合的范围解出即可.(2)由知点的轨迹是以为直径的圆在圆内部的一段弧,记为弧易知，结合弧长公式求出弧.【详解】
(1)连接，因为点是弦的中点，所以，设，，有得，，，又是的中点所以，，所以，即，解得或(舍去).(2)连接，由知点的轨迹是以为直径的圆在圆内部的一段弧(不包括弧的两个端点)，记为弧．连接，，，，因为，，所以在直角三角形和直角三角形中，，所以，故弧的长度为．故答案为：；.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．在解题时应强化有关直线与圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积或扇形面积(弧长)等问题．45．已知的两条内角平分线所在的直线方程分别为，则的内切圆圆心的坐标为______，圆的方程为_______．【答案】【分析】（1）根据的内切圆圆心为两条内角角平分线的交点，联立方程即可；（2）求出点关于直线和的对称点为，，再求出直线的解析式，
的内切圆的半径等于圆心到直线的距离，求出半径，进而求出圆的方程.【详解】的内切圆圆心为两条内角角平分线的交点，联立方程，得，所以的内切圆圆心的坐标为，点关于直线的对称点为，设关于直线的对称点为，则，解得，所以，因为直线经过，，所以的方程为，即，所以的内切圆的半径等于圆心到直线的距离，的内切圆的方程为.故答案为：；.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．46．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+1）2＝1，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点A．若a＝1，则直线l截圆C所得弦的长度为__；若过l上一点P作圆C的切线，切点为Q，且，则实数a的取值范围是__．【答案】
【分析】（1）当a＝1时，圆心半径已知，直接用垂径定理求弦长；（2）由题意得到|PQ|＝|PB|，建立关于m的方程，根据方程有解，，求出a的范围.【详解】当a＝1时，圆心C（1，0），r＝1，则圆心C到直线l的距离d，所以弦长＝22；由题得圆心C（a，a﹣1），即有C在直线y＝x﹣1上运动，不妨设P（﹣m，﹣m+2），过P作PB⊥x轴，则有|PA||PB|，又因为|PA||PQ|，所以|PQ|＝|PB|，因为PQ2＝PC2﹣r2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，则有（﹣m+2）2＝（﹣m﹣a）2+（﹣m+2﹣a+1）2﹣1，整理得m2﹣2m+2a2﹣6a+4＝0，问题可转化为上述方程有解，则＝22﹣4（2a2﹣6a+4）＝﹣8a2+24a﹣12≥0解得a∈，故答案为：．【点睛】（1）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
（2）坐标法是解析几何的基本方法.47．已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆O的切线，切点是A，B，则的最小值是_________，此时四边形外接圆的面积是________．【答案】【分析】由是圆的切线，切点为，可得，当最小时，最小，利于点到直线的距离公式，可求出，进而可求出，此时四边形是由两个全等的直角三角形组成，该四边形的外接圆直径为线段，即半径，求出面积即可.【详解】因为是圆的切线，切点为，所以，则，所以当最小值时，最小，当与直线垂直时，最小，则，所以，即.此时四边形是由两个全等的直角三角形组成，该四边形的外接圆直径为线段，该圆的半径，面积为.故答案为：；.五、解答题
48．已知圆，直线．（1）求证：对，直线与圆总有两个不同交点；（2）设与圆交与不同两点，求弦的中点的轨迹方程；（3）若直线过点，且点分弦为，求此时直线的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或.【分析】（1）求出圆心到直线得距离与半径比较即可得出结论；（2）结合几何性质得到等量关系，即可求出轨迹方程；（3）联立直线与圆的方程，结合韦达定理以及已知条件即可求出结果.【详解】（1）圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故对，直线与圆总有两个不同交点；（2）当与不重合时，连接，则，所以，设，则，整理得，当与重合时，也满足，故弦的中点的轨迹方程为;
（3）设，由，得，所以，即，又，消去得，所以，，由得，将带入得，所以此时直线的方程为或.49．直线：与圆：相交于、两点．（1）求平行于且与圆相切的直线方程；（2）求面积．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）设切线方程为，由切线定义求得，进而求得结果；（2）作，由点到直线距离公式求得，再由弦长公式求得，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为，则圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为或；（2）作，垂足为，，∴，∴．
50．已知圆过点、，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，为原点，，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据垂径定理的逆定理可得弦的垂直平分线过原点，又圆心在直线上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当与圆相切时，值最大，计算即可得解.【详解】（1）由，线段中点坐标为，所以线段的垂直平分线为，即，由可得圆C的圆心为，易得半径，所以圆的方程为；（2）由圆心在轴正半轴上，由，所以在正半轴上，由，故当和圆相切时，即为切点时最大，此时最大，.51．已知，，动点满足，活动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；（2）如图，点是上任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线与相交于点，直线与相交于点，求证：以为直径的圆与轴交于定点，并求出点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由，可得，列出等式，即可求得动点的轨迹方程；（2）设出点的坐标，得到直线的方程，与直线的方程联立，求得点的坐标，进而得到以为直径的圆的方程，最后求出定点坐标.【详解】（1）设，因为，所以，整理得的方程为；（2）设点，，且有，则直线的方程为，令，得，即，直线的方程为，令，得，即，
从而以为直径的圆的方程为，令，则，即，又因为，所以，代入可得，解得：，所以定点或【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.52．已知圆．（1）直线l与圆C相交于A，B两点，若直线l过点，且，求直线l的方程；（2）若存在过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）或.；（2）.【分析】（1）设其方程为，即，根据圆的弦长公式求得，利用点到直线的距离公式，列出方程取得的值，即可求解；（2）设的坐标为，则点的坐标为，根据点在圆上，联立方程组，得出点在直线上，结合点在圆上，根据圆心到直线的距离，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当直线的斜率存在时，设其方程为，即，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心到直线的距离为，
因为，即，解得，即，解得或，所以直线的方程为或.（2）由题意可得点为的中点，设的坐标为，则点的坐标为，因为点在圆上，可得，整理可得，所以点在直线上，又由点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，整理得，解得，解得或，所以实数的取值范围是.53．已知圆的方程为.（1）若直线与圆相交于、两点，求的长;（2）已知点，点为圆上的动点，求的最大值和最小值.【答案】（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出的长度，由圆的性质可得，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C的一般式方程为，即圆心，半径，
所以圆心到直线：的距离，所以弦长；（2），又，所以，，即的最大值为8，最小值为3.54．已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆的标准方程．（2）直线：与圆交于，两点．（i）求的取值范围；（ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值．【答案】(1)；(2)；(ii)证明见解析.【分析】(1)设圆心C为，由圆过原点得出半径为a，根据点到线的距离公式求出半径，进而得出圆的标准方程；(2)把直线方程和圆的方程联立，消y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式大于0解出k的范围，结合韦达定理，根据列出表达式，整理即可.【详解】(1)设圆C的圆心C坐标为，其中a>0，由题意知，，又圆C与直线3x+4y-8=0相切，则圆心C到此直线的距离为：，所以，解得a=1或a=-4(舍去)，所以圆心C为，，故圆C的标准方程为：；(2)由(1)，，因为直线交圆C于点A，B，所以
()k的取值范围是；(ii)证明：设，由韦达定理，得，又，所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.55．已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.【分析】（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；（2）易知当定点与连线垂直时，点到直线距离最大；求出方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得；利用两点间距离公式可求得最大值；（3）利用直线方程可坐标，并确定的取值范围，利用表示出，可得一个分式型的函数，通过换元法可表示出，由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得的值，由此可得直线方程.【详解】（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；（2）由（1）知：直线恒过定点，
则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；则最大值；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令得：，即；令得：，即；又位于轴的负半轴，，解得：；，令，则，，，，，则当，即时，，，此时直线的方程为：.56．已知直线，的方程为.（1）求证：与相交；（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由题知直线过定点，且为的圆心，故与相交；（2）由题知，当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，进而得答案.
【详解】解：（1）由题知直线，的标准方程为，所以直线过定点，为圆的圆心，所以直线过的圆心，故与相交；（2）由（1）知直线过圆的圆心，的半径为，所以，所以当到直线的距离最大时，的面积取最大值，故当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，所以的面积最大值为57．已知斜率为的直线过点，圆与交于两点，线段中点是（1）若，求坐标（2）若直线与直线交点是，那么是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【答案】（1）；（2）是，理由见解析.【分析】（1）根据，直线过点，得到直线方程为，由，结合韦达定理求解；（2）由，求得，由垂径定理可得，然后由求解.【详解】（1）因为，直线过点，所以直线方程为，由，得，
所以，则，所以；（2）由，解得，即，则，由垂径定理得，所以，所以，，，所以是定值.58．已知圆心为的圆经过三点，（1）求此圆的方程和点坐标；（2）求直线被圆所截得的弦长，【答案】（1）圆的方程为，圆心坐标为；（2）6.【分析】（1）设圆的方程为，根据圆过点代入方程求解；（2）先求得圆心到直线的距离d，再由弦长为求解.【详解】（1）设圆的方程为，因为圆过点，所以，
解得，所以圆的方程为，圆心坐标为.（2）由（1）知圆的圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为：，所以直线被圆所截得的弦长为.59．已知圆与轴负半轴的交点为A，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.（1）若，切点，求直线；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由于,因此关键求点坐标，这可利用方程组求解，一是由得，二是根据点在直线上，即，解得,得直线的方程；(2)由，可得点的轨迹是一个圆，因此由直线与圆有交点得解【详解】（1）由题意，直线切于点，则，又切点的坐标为，所以，，故直线的方程为，即.联立直线和，解得即，
所以直线的斜率为，故直线的方程为.（2）设，由，可得，即，即满足的点的轨迹是一个圆，所以问题可转化为直线与圆有公共点，所以，即，解得.60．已知中，在轴上，点是边上一动点，点关于的对称点为.（1）求边所在直线的方程；（2）当与不重合时，求四边形的面积；（3）直接写出的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设出点坐标，根据求解出点坐标，根据直线的点斜式方程可求边所在直线的方程；（2）根据对称关系分析得到，由此可求四边形的面积；（3）设出点坐标，表示出点坐标，根据坐标形式下向量的数量积运算求解出的取值范围.【详解】（1）设，因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以边所在直线的方程为：，即；（2）因为点关于的对称点为，且在上，所以到所在直线的距离等于到所在直线的距离，
又因为有公共底边，所以四边形，又因为到所在直线的距离为，，所以；（3）的取值范围是.(理由供参考：设，因为关于的对称点为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以61．如图，在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，.（1）求面积的最大值；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）最大值；（2）.【分析】（1）求得的表达式，由此求得最大值.（2）求得圆心到直线的距离，由此列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【详解】
（1）设，则,且,∵，所以,∴面积取得最大值.（2）设圆心到直线的距离为，则,解得,根据题意，直线的斜率存在,设直线的方程为，即,则，解得,因此，直线的方程为.
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