专题2平面向量及其应用,复数第一部分平面向量一、单选题1.（2021·山东日照市·高三二模）已知，当时，向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，从而可求，然后根据向量夹角公式可解.【详解】解：，，，即，，，所以向量与的夹角为，故选：B.2．（2021·山东济南市·高三一模）已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由条件可得，进而得到，结合向量夹角公式可得结果.【详解】由，得，所以，即，
所以，由，得，故选：C.3.（2021·山东高三其他模拟）已知向量，，的模长均为2，且满足，则的值为（）A．B．C．D．5【答案】C【解析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的减法运算法则进行求解即可.【详解】∵，∴，，.故选：C4．（2021·山东烟台市·高三二模）若向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由向量垂直，结合向量数量积的运算律可得，即可求与夹角的余弦值.【详解】由题设知：，而，，∴，故.故选：D.
5．（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形中，，若，则（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得关于的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解.【详解】,又∵，不共线，根据平面向量基本定理可得,∴,故选：D.6．（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知向量，，，且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知求得，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.【详解】由已知得，又，所以，解得，故选：C.
7．（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用基底表示，对照即可得到结果.【详解】易知，，，∴，故选：C.8．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知向量，则在方向上的投影为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】由题得出，由求出，得出，即可求出所求.【详解】由，，得，
由，得，解得，所以，故在方向上的投影为．故选：B．9．（2021·山东济宁市·高三二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点和点．若点在的角平分线上，且，则（）A．B．C．2D．6【答案】A【解析】根据平面几何知识求出，进而得到点的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．【详解】如图所示：因为，所以，即有，，所以点的坐标为，即，又因此．故选：A．10．（2020·山东高三其他模拟）已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】
如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.设，则，故，即的取值范围是.故选：A11．（2021·山东聊城市·高三三模）在中，，，，M为BC中点，O为的内心，且，则（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】在直角三角形ABC中，求得内切圆半径，用表示出，而，从而求得.【详解】由题知，，根据三角形面积与周长和内心的关系求得，内切圆半径，四边形AEOF为矩形，
则，又则则，则故选：A关键点点睛：求得内切圆半径，得到，从而利用，求得参数值即可.12．（2021·山东高三二模）若均为单位向量，且，，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】根据已知条件先整理得到，再计算，即得结果.【详解】由题意知，，又，∵，∴，∴∴，即的最大值为1.
故选：B.13．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）点，，在圆上，若，，则的最大值为（）A．3B．C．4D．6【答案】C【解析】根据条件可得，为等边三角形.由向量的加法和数量积的运算结合余弦函数的和角公式可得答案.【详解】由题意，则又，所以为等边三角形.显然，所以当时，有最大值4故选：C14．（2021·山东德州市·高三二模）在平行四边形中，已知，，，，则（）
A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平面向量的三角形法则即向量的模的运算可以求出平行四边形两个边的模的关系，进而利用平面向量的对角线法则及平面向量的数量积的计算公式，可以得所求数量积的值.【详解】∵，∴，，而，，∴，，∴，，两式相减得，∴.∴.故选：B.二、多选题15．（2021·山东高三其他模拟）已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．向量的夹角为D．在方向上的投影是【答案】AC【解析】根据向量垂直、模、夹角的运算判断ABC选项的正确性，根据向量投影的计算公式判断D选项的正确性.【详解】对选项A，，因为，所以，故A正确；对选项B，，所以，故B错误；
对选项C，，所以向量的夹角为，故C正确；对选项D，在方向上的投影是，故D错误.故选：AC16．（2020·山东高三其他模拟）已知向量，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，故A正确，B不正确；又，，，所以，故D正确，C不正确，故选：AD.三、填空题17．（2021·山东济南市·高三二模）已知平面向量，，满足，，则的值为______．【答案】2【解析】根据向量垂直数量积为0，即可得答案；【详解】，，故答案为：2.
18．（2021·山东青岛市·高三二模）在平行四边形中，，，则___________；【答案】【解析】利用向量数量积以及余弦定理列方程，解方程求得，由此求得，进而求得.【详解】依题意，所以，由于四边形是平行四边形，所以，由余弦定理得，即，所以，由于，所以.故答案为：19．（2021·山东滨州市·高三二模）已知平面向量，，是单位向量，且，则
的最大值为___________.【答案】【解析】如图建系，设，可得，根据其几何意义，结合图象，即可得答案.【详解】因为，所以，如图建系，设，因为，所以终点为单位圆上任意一点，又，所以，表示点与点A（1,1）间的距离，由图可得，当位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为，所以的最大值为.故答案为：20．（2021·山东淄博市·高三二模）已知向量，满足，，，则向量和的夹角为______．【答案】【解析】根据向量夹角公式即可求得．
【详解】由得由所以向量和的夹角为故答案为：21．（2021·山东高三其他模拟）设，向量，，若，则___________.【答案】【解析】通过向量垂直表示数量积为零，写出关系式求解即可.【详解】，，，，，.故答案为：.【点睛】知识点点睛：（1）若，，则.（2），其中，.22．（2021·山东泰安市·高三一模）如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为________.
【答案】【解析】可连接，，，，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．【详解】如图，连接，，，，，为，的中点，，为对角线，的中点，四边形为平行四边形，，，且，，．故答案为：．第二部分复数一、单选题1．（2021·山东青岛市·高三三模）设是虚数单位，若复数满足，则复数
对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由题意可得，因此，复数对应的点(1,1)位于复平面的第一象限.故选：A.2．（2021·山东日照市·高三其他模拟）已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用共轭复数、复数的减法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，则，因此，.故选：A.3．（2021·山东济宁市·高三二模）已知，为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】
利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得.【详解】，所以，，因此，.故选：A.4．（2021·山东淄博市·高三二模）若复数（为虚数单位），则（）．A．B．2C．D．1【答案】A【解析】用复数模的性质，共轭复数模相等，复数商的模等于复数模的商.【详解】.或者故选:A5．（2020·山东高三其他模拟）已知复数满足(，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由条件可得，根据复数的除法运算可得答案.【详解】因为.所以.故选：B
6．（2021·山东高三其他模拟）复数的虚部是（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】利用除法运算公式化简复数，再求其虚部.【详解】，虚部是1.故选：A7．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知则（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】根据复数的四则运算化简复数，再根据复数的模长计算公式求解即可.【详解】因为，所以．故选：A．8．（2021·山东济南市·高三二模）设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】，对应的点为，在第一象限，故答案为A.
9．（2021·山东烟台市·高三二模）已知复数满足，则的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】令，根据复数的几何意义知，要使的最小值，即圆上动点到原点的距离最小，即可求.【详解】令，则由题意有，∴的最小值即为圆上的动点到原点的最小距离，∴的最小值为.故选：B.10．（2021·山东聊城市·高三三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用复数除法运算法则化简复数，当其为实数时，虚部为0，从而求得a的值.【详解】，若其为实数，则，即故选：D11．（2021·山东潍坊市·高三三模）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则A．-5B．5C．-4+iD．-4-i【答案】A【详解】由题意，得，则，故选A．
12．（2021·山东泰安市·高三三模）已知复数（为虚数单位），则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意得的几何意义为与两点间的距离，在单位圆上,进而得|的最大值为3．【详解】的几何意义为与两点间的距离，且在单位圆上，所以||的最大值为3．故选:C13．（2021·山东高三二模）已知复数的实部与虚部的和为7，则的值为（）A．1B．0C．2D．－2【答案】C【解析】根据复数的乘法运算化简后即可求解.【详解】，所以复数的实部与虚部分别为，，于是，解得，故选：C14．（2021·山东滨州市·高三二模）设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先对复数化简，再求其虚部即可
【详解】解：，所以复数的虚部为.故选：B.15．（2021·山东高三其他模拟）设复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先利用三角函数和复数的除法化简复数，再求模.【详解】，故的模为.故选：C16．（2021·福建三明市·高三期末）已知i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】，
所以.故选：A17．（2021·山西阳泉市·高三三模（理））已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由即复数，所以复数对应的点为位于第二象限.故选：B二、多选题18．（2021·山东高三其他模拟）设复数且，则下列结论正确的是（）A．可能是实数B．恒成立C．若，则D．若，则【答案】BC【解析】化简为的形式，根据复数为实数、复数的模、共轭复数、复数的平方等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对选项A，若是实数，则，与已知矛盾，故A错；对选项B，由A知，
所以，故B正确；对选项C，，则，因为，所以，故C正确；对选项D，，则，因为，所以，所以，故D错误.故选：BC19．（2021·山东临沂市·高三二模）1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为所以，故A正确，，故B正确，故C错误，故D正确
故选：ABD20．（2021·山东德州市·高三二模）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（）．A．对应的点在第三象限B．的虚部为C．D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上【答案】AB【解析】根据复数的运算法则，化简得到，根据复数的坐标表示，可判定A正确，根据复数的概念，可判定B正确；根据复数的运算，可判定C不正确；根据复数的几何意义，可判定D不正确.【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以A正确；由，可得复数的虚部为，所以B正确；由，所以C不正确；由，所以满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，所以D不正确.故选：AB.21．（2021·山东青岛市·高三二模）已知复数(为虚数单位)，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是（）A．在复平面内对应的点位于第四象限B．C．的实部为D．的虚部为【答案】ABC
【解析】由复数的运算求得，再根据复数的定义计算后判断各选项．【详解】由题意，对应点坐标为在第四象限，A正确；，B正确；的实部为，C正确，虚部是，D错误．故选：ABC．三、填空题22．（2021·山东济南市·高三一模）已知复数(其中为虚数单位)，则的值为___________.【答案】【解析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求的值.【详解】由题设，知：.故答案为：.
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