高考大题专项(五)圆锥曲线的综合问题第八章2022
【考情分析】突破1圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题题型一最大(小)值问题突破策略一建立目标函数求最大(小)值(1)求直线AP的斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,则f'(k)=-(4k-2)(k+1)2.
解题心得在圆锥曲线中求范围或最大(小)值问题,当题目给出的条件和结论的几何特征不明显时,一般先建立目标函数,将问题转化为求函数的值域或最大(小)值,再求出这个函数的值域或最大(小)值.常用的方法有:(1)配方法;(2)均值不等式法;(3)单调性法;(4)三角换元法;(5)导数法等.要特别注意自变量的取值范围.
对点训练1(2019全国2,理21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.
突破策略二构造均值不等式求最大(小)值【例2】已知椭圆M:(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC面积相等,|S1-S2|=0;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),
解题心得解决圆锥曲线中有关平面几何图形面积的最值问题,先通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式,转化为函数的最大(小)值问题,再利用均值不等式、函数的值域求解最大(小)值,注意均值不等式应用条件及等号成立的条件.
对点训练2已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0,直线l1与l2的交点为M,点M的轨迹为曲线C.(1)当a变化时,求曲线C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与曲线C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.
题型二范围问题突破策略一条件转化法
解题心得求某一量的取值范围,引入新的参数,根据已知条件,得出参数的取值范围,并用参数表示出所求量,进而求出所求量的取值范围.
突破策略二构造函数法【例4】(2020山东高考预测卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(a,2)在抛物线C上.(1)若|MF|=6,求抛物线的标准方程;(2)若直线x+y=t与抛物线C交于A,B两点,点N的坐标为(1,0),且满足NA⊥NB,原点O到直线AB的距离不小于,求p的取值范围.
整理得x2-(2t+2p)x+t2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=2t+2p,x1x2=t2.因为NA⊥NB,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=t-x1,y2=t-x2,所以2x1x2-(1+t)(x1+x2)+t2+1=0,
解题心得解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
突破2定点、定值问题题型一圆锥曲线中的定点问题突破策略一直接法【例1】已知动点P到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离少2.(1)求点P的轨迹E的方程.(2)过点F的两直线l1,l2分别与轨迹E交于A,B两点和C,D两点,且满足,设M,N两点分别是线段AB,CD的中点,问直线MN是否恒过一定点?若经过,求定点的坐标;若不经过,请说明理由.
解(1)由题意知动点P到点F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以点P的轨迹E是抛物线,轨迹方程是x2=4y.(2)根据题意可知,直线l1,l2都有斜率,设直线l1的方程为y=kx+1(k≠0),代入x2=4y,得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
解题心得直接推理法求解圆锥曲线中定点问题的实质及求解步骤解析几何中的定点问题的实质是:当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步:
对点训练1(2020湖北武汉模拟)过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若|AB|=8,求直线l的方程;(2)若点A关于x轴的对称点为D,证明直线BD过定点,并求出该点的坐标.
突破策略二逆推法
解题心得由特殊到一般法求定点问题的方法由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
对点训练2已知抛物线C的方程y2=2px(p>0),焦点为F,点P在抛物线C上,且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1.(1)试求出抛物线C的方程;(2)若抛物线C上存在两动点M,N(M,N在对称轴两侧),满足OM⊥ON(O为坐标原点),过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若AB∥MN,则线段MN上是否存在定点E,使得恒成立?若存在,请求出E的坐标,若不存在,请说明理由.
(4,0),经检验,此点满足y2.
解题心得对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质,或均值不等式求得最值.本题易错点是忽略对于取等号时条件能否成立的验证.
突破策略二转化法【例2】(2018全国1,理19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解题心得几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素间的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
题型二圆锥曲线中的探索性问题突破策略一肯定顺推法【例3】已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.
解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.
(1)求椭圆C的标准方程.(2)在x轴上是否存在一点T,使得当直线l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)存在.当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).
突破策略二探究转化法【例4】(2019全国2,文20)已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解题心得转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.
(2)对于椭圆上两点P,Q,∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,∴PC与CQ所在直线关于x=1对称,设kPC=k(k≠0,且k≠±1),则kCQ=-k,∵C(1,1),∴PC的直线方程为y=k(x-1)+1,①QC的直线方程为y=-k(x-1)+1,②
突破策略三利用假设法(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B为椭圆的左、右顶点,P(x0,y0)(y0≠0)为椭圆上一动点,设直线AP,BP分别交直线l:x=6于点M,N,判断以线段MN为直径的圆是否恒过定点,若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.
解题心得1.利用假设法一般地先假设定点存在,并设出定点坐标,再把其作为已知条件,求解定点坐标.2.探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于k,b的等量关系,再借助于直线系的思想找出定点.3.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
对点训练5已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)M,N为曲线C上的动点,且直线MN经过定点,问在y轴上是否存在定点Q,使得∠MQO=∠NQO,若存在,请求出定点Q,若不存在,请说明理由.
解(1)设PF的中点为S,切点为T,连接OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y轴的对称点F',连接F'P,所以|PF'|=2|OS|,故|F'P|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4,所以点P的轨迹是以F',F分别为左、右焦点,且长轴长为4的椭圆,则曲线C的方程为
当k≠0时,m=6,所以存在定点(0,6),使得∠MQO=∠NQO;当k=0时,定点(0,6)也符合题意;易知当直线MN的斜率不存在时,定点(0,6)也符合题意.综上,存在定点(0,6),使得∠MQO=∠NQO.
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