高考万有引力与航天(建议用时40分钟)1．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )A．B．C．D．【解析】选D。在地球表面上，G＝mg①，“嫦娥四号”绕月球做圆周运动由万有引力提供向心力：G＝②，由①②解得v＝＝＝，D正确。【加固训练】北斗卫星导航系统为导航系统提供定位数据支持的卫星主要有三类：地球静止轨道卫星(GEO)，定点位置在赤道上空；倾斜地球同步卫星(IGSO)；轨道半径小一些的中圆轨道卫星(MEO)。如图所示是一颗地球静止轨道卫星A、一颗倾斜地球同步卫星B和一颗中圆地球轨道卫星C的轨道立体对比示意图，其中卫星B、C的轨道共面，它们都绕地球做匀速圆周运动，下列判断正确的()-16-/16
高考A.卫星C的线速度大于卫星B的线速度B.卫星A和卫星B均相对赤道表面静止C.中圆地球轨道卫星C比同步卫星A的周期比大D.卫星C所受的向心力一定大于卫星B所受的向心力【解析】选A。三卫星做圆周运动，都由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得G=m，解得v=，由于rCvCD.要将B卫星转移到A卫星的轨道上运行至少需要对B卫星进行两次加速【解析】选B、D。根据万有引力提供向心力可知G=ma,得aA=G,aB=G,故=()2,选项A错误;A、C角速度相同,根据a=ω2r得aA=ω2(R+h),aC=ω2R,故=1+,选项B正确;根据G=m得v=,可知轨道半径越大,线速度越小,所以vB>vA,又A、C角速度相同,根据v=ωr可知vA>vC,故vB>vA>vC-16-/16
高考,选项C错误;要将B卫星转移到A卫星的轨道上,先要加速到椭圆轨道上,再由椭圆轨道加速到A卫星的轨道上,选项D正确。【总结提升】求解近地卫星、地球同步卫星和赤道上物体的关键(1)在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a=ω2r而不能运用公式a=。(2)在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v=ωr而不能运用公式v=。(3)在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v=，而不能运用公式v=ωr或v=。7.(创新题)宇航员驾驶宇宙飞船成功登上月球，他在月球表面做了一个实验：在停在月球表面的登陆舱内固定一倾角θ＝30°的斜面，让一个小物体以速度v0由底端沿斜面向上运动，利用速度传感器得到其往返运动的vt图象如图所示，图中t0已知。已知月球的半径为R，万有引力常量为G。不考虑月球自转的影响。求：(1)月球的密度ρ；(2)宇宙飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v1。【解析】(1)由题意及图象可知：＝①-16-/16
高考得到物体回到斜面底端时速度大小：v＝②物体向上运动时mgsin30°＋μmgcos30°＝ma1，a1＝③物体向下运动时mgsin30°－μmgcos30°＝ma2，a2＝④由①②③④得出该星球表面的重力加速度为g＝⑤在星球表面G＝mg⑥M＝ρ·πR3⑦由⑤⑥⑦得到该星球的密度为ρ＝(2)根据mg＝m⑧由⑤⑧得到该星球的第一宇宙速度为v1＝答案：(1) (2)8．(2020·某某等级考)我国将在今年择机执行“天问1号”-16-/16
高考火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )A．m(0.4g－)B．m(0.4g＋)C．m(0.2g－)D．m(0.2g＋)【解析】选B。忽略星球的自转，万有引力等于重力，G＝mg，则＝·＝0.1×＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g；着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得a＝；匀减速过程，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋)，A、C、D错误，B正确。故选B。9.太空中存在一些离其他恒星很远的、由两颗星体组成的双星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。如果将某双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小，则( )A．两星的运动角速度均逐渐减小B．两星的运动周期均逐渐减小C．两星的向心加速度均逐渐减小D．两星的运动线速度均逐渐减小-16-/16
高考【解析】选B。设两星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的角速度为ω，由万有引力定律和牛顿第二定律得，对M1：G＝M1r1ω2，对M2：G＝M2r2ω2，因为L＝r1＋r2，解得r1＝L，r2＝L，T＝＝2π，双星的总质量不变，距离减小，周期减小，角速度增大，A错误，B正确；根据G＝M1a1＝M2a2知，L变小，则两星的向心加速度均增大，故C错误；由于v1＝ωr1＝·L＝M2，v2＝ωr2＝·L＝M1可见，距离减小线速度变大，故D错误。10．(多选)同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200～300km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36000km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。关于同步卫星及其发射过程，下列说法正确的是( )A.在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度B．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能-16-/16
高考C．卫星在转移轨道上运动的速度大小X围为7.9～11.2km/sD．所有地球同步卫星的静止轨道都相同【解析】选B、D。根据卫星变轨的原理可知，在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速。当卫星做圆周运动时，由G＝m，得v＝，可知卫星在静止轨道上运行的线速度小于在停泊轨道运行的线速度，故A错误；由能量守恒可知，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能，故B正确；卫星在转移轨道上的远地点需加速才能进入同步卫星轨道，而同步卫星轨道的速度小于7.9km/s，故C错误；所有地球同步卫星的静止轨道都相同，并且都在赤道平面上，高度一定，故D正确。【加固训练】 (多选)“嫦娥四号”从距月面高度为100km的环月圆轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点高度为15km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q成功落月，如图所示，关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是( )A.沿轨道Ⅰ运动至P点时，需制动减速才能进入轨道ⅡB．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C．沿轨道Ⅱ运动时，在P点的加速度大于在Q点的加速度D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减少，机械能不变【解析】选A、D。在轨道Ⅰ上运动，从P点变轨，可知“嫦娥四号”-16-/16
高考做近心运动，在P点应该制动减速以减小所需向心力，通过做近心运动减小轨道半径，故A正确；除点P外，轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，故B错误；在轨道Ⅱ上运动时，卫星只受万有引力作用，在P点受到的万有引力比在Q点的小，故在P点的加速度小于在Q点的加速度，故C错误；在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对“嫦娥四号”做正功，“嫦娥四号”的速度逐渐增大，动能增加，重力势能减小，机械能不变，故D正确。故选A、D。11．(多选)(2021·某某模拟)如图所示，点L1和点L2称为地月连线上的拉格朗日点。在L1点处的物体可与月球同步绕地球转动。在L2点处附近的飞行器无法保持静止平衡，但可在地球引力和月球引力共同作用下围绕L2点绕行。我国中继星“鹊桥”就是绕L2点转动的卫星，“嫦娥四号”在月球背面工作时所发出的信号通过“鹊桥”卫星传回地面，若鹊桥卫星与月球、地球两天体中心距离分别为R1、R2，信号传播速度为c。则( )A.“鹊桥”卫星在地球上发射时的发射速度大于地球的逃逸速度B．处于L1点的绕地球运转的卫星周期接近28天C．“嫦娥四号”发出信号到传回地面的时间为t＝D．处于L1点绕地球运转的卫星其向心加速度a1小于地球同步卫星的加速度a2【解析】选B、D。逃逸速度是卫星脱离地球引力的第二宇宙速度，“鹊桥”的发射速度应小于逃逸速度，故A错误；根据题意知中继星“鹊桥”绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，故B正确；“鹊桥”卫星与月球、地球两天体中心距离分别为R1、R2-16-/16
高考，到地表的距离要小一些，则“嫦娥四号”发出信号到传回地面的时间为t，要小于，故C错误；由a＝rω可知，处于L1点绕地球运转的卫星其向心加速度a1小于月球的向心加速度，由a＝可知月球的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，则卫星其向心加速度a1小于地球同步卫星的加速度a2，故D正确。12．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。地球可视为质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。(1)时间2020年3月9日，中国在某某卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，此次发射的是北斗第2颗地球静止轨道卫星(又称地球同步卫星)，它离地面高度为h。求此卫星进入地球静止轨道后正常运行时v的大小(不考虑地球自转的影响)；(2)为考察地球自转对重力的影响，某研究者在赤道时，用测力计测得一小物体的重力是F1。在南极时，用测力计测得该小物体的重力为F2。求地球的质量M。(已知地球自转周期为T)【解析】(1)设该卫星质量为m，根据万有引力定律提供向心力可得：＝m在地球表面，根据万有引力和重力的关系可得：＝mg解得线速度v＝＝。(2)设小物体质量为m0在赤道处，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G－F1＝m0R-16-/16
高考在南极地面G＝F2联立得地球质量M＝。答案：(1) (2)-16-/16
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