专题3.2 函数的单调性与最值 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版

专题3.2函数的单调性与最值新课程考试要求1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.核心素养培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想象（例9.10）等核心数学素养.考向预测1.确定函数的最值（值域）2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.【知识清单】1.函数的单调性（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.2．函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.【考点分类剖析】 考点一单调性的判定和证明【典例1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【典例2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.【答案】证明见解析.【解析】∀x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得.【详解】证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=则f(x1)-f(x2)==，因为x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增. 【规律方法】掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．【变式探究】1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f(x)|在R上为增函数C．y=在R上为增函数D．y=f(x)在R上为减函数【答案】ABC【解析】令可判断出ABC不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.【详解】对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1