2022年高考数学一轮复习讲练测4.4 三角函数的图象与性质（新高考讲）原卷版

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第四章三角函数与解三角形专题4.4三角函数的图象与性质（讲）【考试要求】理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，了解三角函数的周期性.【高考预测】（1）“五点法”作图；（2）三角函数的性质；（3）与不等式相结合考查三角函数定义域的求法．（4）与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)．（5）借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质．（6）往往将三角恒等变换与三角函数图象、性质结合考查.【知识与素养】知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当当时，；当时，．既无最大值，也无最小值12/12 时，．周期性奇偶性,奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.【典例1】（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递增区间．知识点2．“五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到12/12 在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例2】（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知函数.（1）用“五点法”作出在上的简图.（2）由图象写出在上的单调区间.【重点难点突破】考点一三角函数的定义域和值域【典例3】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）；（2）.【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨市·高三其他模拟（文））已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的值域.【规律方法】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域；12/12 (4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．【变式探究】1.（2020·上海高三专题练习）函数的最大值为2，最小值为，则_________，_________.2.（2021·上海高一单元测试）写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心．【总结提升】在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．考点二三角函数的单调性常见考题类型：1．求三角函数的单调区间；2.已知函数的单调性求参数值或范围；3.比较大小；4.解三角不等式.【典例5】（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A．B．C．D．【典例6】（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（）A．B．C．D．【典例7】（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数在区间内单调递减，则的最大值为（）A．B．C．D．12/12 【典例8】（2021·河南高一期中（文））在上，满足的的取值范围是______．【规律方法】1.求形如或(其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()”视为一个“整体”；②A>0(A0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．3.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－，)，(，π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－，)∪(，)∪…上是增函数．考点三三角函数的周期性【典例9】（2018年全国卷Ⅲ文）函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为（）A.π4B.π2C.πD.2π【规律方法】1.求三角函数的周期的方法12/12 （1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为.要特别注意两个公式不要弄混；(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.2.使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.3.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.【变式探究】（2021·全国高三月考（理））函数的最小正周期是_______________________.【特别提醒】最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．.考点四三角函数的奇偶性 【典例10】（2021·宁波中学高三其他模拟）函数的图象大致为（）12/12 A．B．C．D．【规律方法】1.一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.2.如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.12/12 【变式探究】（2021·全国高三其他模拟）函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．【特别提醒】利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．考点五三角函数的对称性 【典例11】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在处取到最大值，则（）A．奇函数B．偶函数C．关于点中心对称D．关于轴对称【规律方法】函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心,关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．【变式探究】（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，且函数的最小正周期为12/12 ，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数的单调递增区间是.其中正确的（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【特别提醒】1.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．2.正切函数图象的对称中心是(，0)而非(kπ，0)(k∈Z)．考点六三角函数的零点【典例12】（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数在上的零点个数为（）A．B．C．D．【典例13】（2021·全国高三其他模拟（理））函数在上的所有零点之和为（）A．B．C．D．【总结提升】重点考查三角函数的图象与性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，关键点在于利用数形结合的思想将函数零点转化为两个函数图象交点问题．【变式探究】1.（2021·河南商丘市·高一月考）函数的零点个数为（）A．2B．3C．4D．52.（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数，则（）12/12 A．不是周期函数B．的值域为C．没有零点D．在上为减函数考点七三角函数中有关ω问题 常见考题类型：1.三角函数的周期T与ω的关系；2.三角函数的单调性与ω的关系；3.三角函数的对称性、最值与ω的关系【典例14】（2021·云南昆明市·高三其他模拟（文））已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【典例15】（2021·辽宁铁岭市·高三二模）函数在内有且仅有一个极大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【典例16】（2021·高三其他模拟（文））已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（）A．B．C．1D．【典例17】（2018年北京高考真题）设函数f（x）=cos(ωx−π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【变式探究】1.（2021·全国高三其他模拟（理））若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12/12 【学科素养提升】数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】（2021·全国高一课时练习）借助函数的图象解不等式，.12/12