“田忌赛马”中的数学思考

“田忌赛马”中的数学思考江苏省海安县紫石中学傅卜宏（226600）“田忌赛马”是战国时代有名的历史故事。传说当时齐威王常与大将田忌赛马，每次赛马都将马分为上、中、下三等，分别以上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马连赛三场，由于田忌的马较齐威王同等马的马力差，虽然相差不远，但每次总是连输三场。在旁观看的谋士孙膑暗地里对田忌说：“明天再都进行比赛，我一定能使你获得胜利。”孙膑是战国时代著名的军事家，田忌很相信他，于是就与齐威王约定明日再赛三场而每场赌黄金一千两，即输者给赢者一千两，消息传开，第二天前来围观的有数千人。孙膑给田忌定的决策是：第一场以下等马对齐威王的上等马，第二场以上等马对齐威王的中等马，第三场以中等马对齐威王的下等马。结果除一场输外，第二、三场都是田忌得胜。三场比赛田忌一输两赢，因而赢了齐威王一千两黄金。那么孙膑是如何想到比赛策略的呢？，具体我认为孙膑是运用了数学上的穷举归纳法，具体分析如下：假定高一等级的马总比低一等级的马要强，而同一等级的马齐威王的要比田忌的强，那么田忌可能选择的策略穷举出来有以下六种： 策略第一场第二场第三场结果（１）（上，上）（中，中）（下，下）－３（２）（上，上）（下，中）（中，下）－１（３）（中，上）（上，中）（下，下）－１（４）（中，上）（下，中）（上，下）－１（５）（下，上）（上，中）（中，下）＋１（６）（下，上）（中，中）（上，下）－１其中（中，下）表示田忌以中等马对齐威王的下等马，其余类推；“结果”一列表示田忌输赢场数。通过综合比较可见，若齐威王的策略不变，则策略（５）即孙膑的决策对田忌来说是最好的决策。孙膑在研究赛马的决策时，把齐威王的策略固定化，一般当穷举时，若研究对象有两个变动因素，首先可设法将一个因素的各种情况穷举出来，接着针对每一种情况将另一个因素的各种特殊情况穷举出来，这样“穷举”里套“穷举”就把研究对象中的全部个别特殊情况一一列出来了。这对于我们寻找规律也很有帮助。